Введення
Одним з основних властивостей таких найпростіших геометричних перетворень, як паралельний перенос, поворот, центральна і осьова симетрії, перетворення подібності і гомотетия, є збереження форми тіл і фігур і як наслідок - збереження кутів між гладкими кривими. Подібною властивістю володіють також багато інших перетворення, але з тією різницею, що властивість збереження форми виконується стосовно не до всього тіла або фігурі, а лише до їх досить малим частинах. Більш того, при цих перетвореннях, як і при зазначених вище найпростіших перетвореннях, має місце властивість збереження кутів між кривими. Такі перетворення, звані конформними, знайшли широке застосування в багатьох розділах математики та інших наук.
конформного відображення - взаємно однозначне відображення областей n-мірного евклідового простору, що зберігає кути між кривими.
1. Комплексна форма запису найпростіших перетворень площині
Відомо, що будь-яке комплексне число
z=x + i * y (x, y R, i2=- 1)
можна єдиним чином зобразити як точку M (x; y) або вектор z=(x; y) на площині, в результаті чого між безліччю З комплексних чисел і координатною площиною Oxy, а також безліччю векторів на площині встановлюється взаємно однозначна відповідність. У зв'язку з цим число z часто називають ще точкою z або вектором z. При цьому сумі комплексних чисел
=x + i * y і a =? + I *?
відповідає сума векторів z і a, що рівносильно паралельного переносу (зрушенню) точки M (x; y) на вектор a (?;?) .Таким чином, на площині паралельний перенос на вектор a здійснюється комплекснозначною функцією
=z + a.
Нехай точка w виходить з точки z поворотом навколо початку координат на кут?. Запишемо число z в тригонометричної формі
=r (cos? + i sin?),
де r=| z | - його модуль (відстань від точки z до початку координат), а? =Arg z - аргумент (кут між дійсною віссю Ox і вектором z). Так як число w має той же модуль r, а його аргумент дорівнює? +? (рис. 1), то
w=r (cos (? +?) + i sin (? +?))=r (cos? + i sin?) (cos a + i sin?),
тобто на площині поворот навколо початку координат на кут a здійснюється функцією w=(cos? + + i sin?) z. Зокрема, звідси випливає, що симетрія відносно початку координат, що представляє собою поворот навколо нього на кут? , Здійснюється функцією w=(cos? + I sin?) Z=- z.
Аналогічно показується, що гомотетия з коефіцієнтом k (k=0), зокрема перетворення подібності з коефіцієнтом k (k gt; 0), і центром на початку координат здійснюється функцією w=kz.
Для опису наведених вище перетворень площині щодо точки z 0 треба у відповідних функціях замінити z на z - z 0. Наприклад, поворот на кут? =?/2 навколо точки z 0=1 + i здійснюється функцією
w=(cos?/2 + i * sin?/2) (z - 1-i)=iz + 1-i
а симетрія щодо цієї точки - функцією
w=- (z - 1 - i)=- z + 1 + i.
За допомогою комплексної змінної описуються і більш складні перетворення площині, яким, наприклад, є інверсія з коефіцієнтом k (k gt; 0) і центром в точці z 0, яка точці z ставить у відповідність точку w, лежачу разом з z на одному промені, що виходить з точки z 0, і задовольняє умові | z - z 0 | * | w - z 0 |=k (рис. 2). Дане перетворення здійснюється функцією
w=z 0 + k/(z-z 0).
Зокрема, інверсія (симетрія) щодо кола | z - z 0 |=R, що визначається як інверсія з коефіцієнтом k=R 2 і центром в точці z 0, здійснюється функцією w=z 0 + R 2/(zz 0) Аналогічно симетрія відносно прямої ax + by=c, звана ще інверсією, здійснюється функцією:
W=(z (b 2 + a 2 - 2abi)/(a ??2 + b 2)) + ((2c (a + b * i))/(a ??2 + b 2)= (z (b2 + a2-2abi) + (a + bi))/(a2 + b2)
Зокрема, інверсія стосовно осі абсцис y=0 здійснюється функцією w=z. Точки, одержувані один з одного в результаті інверсії щодо кола (або прямий), називаються симетричними відносно цієї окружності (або прямий). Наприклад, інверсія щодо кола | z - 1 - i |=1 з центром в точці z 0=1 + i і радіуса 1 здійснюється функцією w=1 + i + 1/(z - 1 + i), використовуючи яку, зокрема , знайдемо точку, симетричну точці z=0 відносно даного кола:
W=1 + i + (1/(i - 1))=(1/2) * (1 + i)
Записавши функцію w=1/z у вигляді w=(1/z), бачимо, що вона являє собою суперпозицію w == f 2 (f 1 (z)) двох функцій f 1 (z )=1/z, f 2 (z)=z.Следователь...
