но, відображення, здійснюване функцією w=1/z, рівносильно послідовному виконанню (суперпозиції) двох інверсій (симетрій): щодо кола | z |=1 і відносно осі абсцис. З цієї причини відображення, здійснюване функцією w=1/z, називають перетворенням подвійний симетрії. Аналогічно можна показати, що паралельний перенос і поворот рівносильні двом інверсія щодо деяких прямих, а перетворення подібності - двом інверсія щодо кіл.
Розглянуті в даному пункті перетворення вивчаються також в n-вимірному евклідовому просторі. Однак для них у просторі вимірювання n? 3 таких зручних форм аналітичної записи, як на площині, немає.
. Визначення та основні властивості комплексного відображення
Безперервне відображення w=f (z) області D комплексної площині С в площину С називається конформним в точці z0 D, якщо в цій точці воно має властивості сталості спотворення масштабу і збереження кутів.
· Властивість сталості спотворення масштабу (або сталості розтягувань) в точці z 0 при відображенні w=f (z) полягає в тому, що при zz 0 ставлення | f (z) - f (z 0) |/| z - z 0 | відстані між образами f (z) і f (z 0) точок z і z 0 до відстані між самими точками z і z 0 прагне до певної межі k, яке не залежить від способу прагнення z до z 0. Число k називається коефіцієнтом спотворення масштабу в точці z 0 при відображенні w=f (z).
· Властивість збереження (консерватизму) кутів у точці z 0 при відображенні w=f (z) полягає в тому, що будь-яка пара гладких кривих? 1,? 2 (функція f називається гладкою на відрізку, якщо вона має безперервну похідну на цьому відрізку), розташованих в D і перетинаються в точці z 0 під деяким кутом? (тобто мають дотичні в точці z 0, що утворюють між собою кут?), переходить при розглянутому відображенні в пару гладких кривих Г 1, Г 2, що перетинаються в точці w 0=f (z 0) під тим же кутом? з урахуванням напрямку (рис. 3). Таке відображення називають ще конформним відображенням першого роду. Якщо відображення зберігає кути між кривими за абсолютною величиною, змінюючи їх спрямування на протилежні, то воно називається антіконформним або конформним відображенням другого роду. Відображення області D називається конформним, якщо воно конформно в кожній точці області. Усі розглянуті раніше відображення, крім інверсії, є конформними в площині С, а інверсія - антіконформним відображенням у С.
З визначення конформного відображення безпосередньо випливає, що якщо в площині зміни комплексної змінної z взяти досить малий трикутник з однією з вершин в точці z 0, то він при конформному відображенні w=f (z) перейде в малий криволінійний трикутник з вершиною в точці w 0=f (z 0) (див. рис. 3). При цьому відповідні кути у цих трикутників будуть рівні як за абсолютною величиною, так і за напрямком, а відносини їх відповідних сторін будуть мало відрізнятися від коефіцієнта k спотворення масштабу. Таким чином, конформне відображення є відображенням, що зберігає форму досить малих фігур, тобто перетворенням подібності стосовно малим фігурам.
Доведено, що образ будь-якій області при конформному відображенні знову є областю. Основними проблемами теорії конформних відображень є питання про можливість (існуванні) конформного відображення однієї заданої області на іншу і завдання практичного знаходження функцій, що здійснюють це відображення. Відповідь на перше питання у разі однозв'язних областей дає теорема Рімана, згідно з якою будь-які дві одинзв'язні області з кордонами, що складаються більш ніж з однієї точки, можна взаємно однозначно і конформно відобразити один на одного. Безліч всіх таких відображень нескінченно, і всі вони здійснюються аналітичними функціями, тобто функціями, що мають похідну. Зокрема, з цієї теореми випливає, що будь-яку одинзв'язного область зазначеного типу можна нескінченним числом способів відображувати конформно на одиничний коло | z | lt; 1 або верхню полуплоскость Im z gt; 0, чим часто користуються в додатках.
Складніше йде справа з другою проблемою. Знайти практично конформне відображення однієї області в іншу, особливо за допомогою елементарних функцій, вдається не завжди. За складністю ця проблема багато в чому схожа з проблемою знаходження інтегралів функцій, існування яких якщо навіть доведено (наприклад, у випадку неперервних функцій), але знайти їх практично не завжди вдається. Як і у випадку інтегралів, дана проблема вирішена лише для деяких певних типів областей, тому вона досі залишається предметом досліджень.
Поряд з конформним відображенням плоских областей вивчаються також конформні відображення областей в евклідовому просторі E n вимірювання n gt; 2, які визначаються так само, як і у випадку площині. Однак конформні відображення в E n при n gt; 2 утворюють вельми вузький клас. Кожне таке відображення є або перетворе...
