Зміст
Введення
.Классіческая модель Крамера-Лундберга з гамма-розподілом величин позовів
.1Опісаніе моделі
.2Діфференціальние рівняння високого порядку для ймовірностей неразоренние у разі гамма-розподілу величин позовів
.Модель роботи страхової компанії на марківського ланцюга
.1Опісаніе моделі
.2Сістема інтегро-диференціальних рівнянь для ймовірностей неразоренние. Теорема існування та єдиності рішень
.Діфференціальние та інтегро-диференціальні рівняння для ймовірностей неразоренние страхової компанії у разі гамма-розподілу страхових позовів
.Охрана праці
Висновок
Література
Введення
Одним з найважливіших показників стабільності будь-якого бізнесу все ще залишається ймовірність неразоренние страхової компанії, яка працює або не працює на фінансовому ринку. Знаходженню оцінки ймовірності неразоренние страхових компаній був присвячений ряд статей, наприклад і монографіях.
Динаміка капіталу страхової компанії описується рівнянням [7]
де - початковий капітал;
- порядковий номер перемикання стану середовища;
- число перемикань станів середовища до моменту;
- число страхових випадків за час за їх інтенсивності;
- інтенсивності страхових випадків в стані і після -ого перемикання відповідно;
- інтенсивності надходження внесків в змозі і після -ого перемикання відповідно;
- -ий момент зміни стану ланцюга,;- Розмір -ого позову після -ого перемикання.
В роботі [8] отримана система інтегро-диференціальних рівнянь для ймовірностей небанкротства страхової компанії:
Система рівнянь (2) вирішується при граничних умовах:
Огляд результатів робіт з розв'язання задачі наводиться у другому розділі дипломної роботи.
У першому розділі наведено огляд роботи [9], який описує модель Крамера-Лундберга, тобто випадок, коли переходів зі стану в стан не буде, а розміри позовів мають гамма-розподіл з параметрами і щільністю:
Тоді ймовірність неразоренние страхової компанії описується наступним рівнянням:
У розділі 3 в рамках описаною в розділі 2 завдання досліджується випадок, коли величини страхових позовів мають закон гамма-розподілу з параметрами, залежними від стану середовища. Показано, що в цьому випадку вектор задовольняє векторному диференціальному рівнянню високого порядку:
1. Класична модель Крамера-Лундберга без марківського ланцюга
. 1 Опис моделі
Розглянемо страхову компанію з початковим капіталом, яка отримує страхові внески, де - незалежні однаково розподілені випадкові величини, рівні величинам страхових виплат клієнтам. Якщо величини мають функцію розподілу, а число виплат за часовий проміжок описується пуассоновским процесом з інтенсивністю позовів, тоді балансове рівняння для ймовірності неразоренние такий страхової компанії буде мати вигляд [1]:
. 2 Диференціальні рівняння вищого порядку для ймовірностей неразоренние
Визначимо закон гамма-розподілу позовів з параметрами. Його щільність:
Нехай розміри позовів описує гамма-розподіл з параметрами, тоді ймовірність неразоренние страхової компанії, капітал якої еволюціонує за моделлю Крамера-Лундберга, описується рівнянням:
Доказ:
Оскільки розміри позовів мають гамма-розподіл з параметрами, то ймовірність неразоренние будемо знаходити з рівняння:
Надалі нам доведеться диференціювати рівність (1.3). Покажемо, що операція взяття похідною буде закономірна аж до порядку
. Дійсно, при виведенні формули (1.1) показано, що функція має першу похідну. Зробимо заміну змінних в інтегралі правій частині (1.3), поклавши, тоді права частина рівняння (1.3) очевидно дорівнює
Звідки видно, що права частина отриманого виразу, а значить, і права частина (1.3) дифференцируема по, тобто у функції існує друга похідна. Повторюючи надалі наведене міркування для рівняння наступного порядку, переконаємося в тому, що функція має третю похідну і т.д.
Отже, диференціюючи (1.3) за, отримаємо наступне інтегро-диференціальне рівняння:
Взявши по частинах інтеграл і підставивши потім отримане його значення в (1.4), матимемо:
