r />
Висловлюючи тепер значення другого інтеграла з (1.3) і підставивши його в (1.5), отримаємо:
Далі знову продифференцировав по тепер уже рівняння (1.6), і проробивши потім всі ті ж дії, отримаємо:
Як можна було помітити з наведених вище рівнянь, коефіцієнти при похідних є коефіцієнтами з трикутника Паскаля.
Знову диференціюю (1.10) по, отримаємо:
Взявши по частинах інтеграл у (1.11), матимемо:
Підставивши отримане його значення в (1.11), отримаємо:
Висловивши з (1.10) і підставивши його в (1.13), ми остаточно будемо мати:
Що й потрібно було довести.
2. Модель роботи страхової компанії на марківського ланцюга
. 1 Опис моделі
Будемо розглядати таку модель роботи страхової компанії в марковской середовищі з станами {}, де динаміка капіталу описується таким чином:
де - початковий капітал;
- порядковий номер перемикання стану середовища;
- число перемикань станів середовища до моменту;
- число страхових випадків за час за їх інтенсивності;
- інтенсивності страхових випадків в стані і після -ого перемикання відповідно;
- інтенсивності надходження внесків в змозі і після -ого перемикання відповідно;
- -ий момент зміни стану ланцюга,
;- Розмір -ого позову після -ого перемикання.
Позначимо через функцію розподілу величини позову, що надходить в страхову компанію, що знаходиться в -ом стані середовища.
Введемо матрицю переходу Марківського ланцюга .Предполагается, що перехід зі стану відбувається під впливом подій одно-рідного пуассоновского потоку з інтенсивністю. При цьому при воздейст-вії подій потоку перехід можливий в один зі станів.
Тут - умовна ймовірність того, що ланцюг перейде зі стану в стан за умови, що який-небудь перехід точно відбудеться. Так як переходи відбуваються під впливом подій потоку і тільки зі стану в стан, то
У силу формули
ймовірність здійснення переходу зі стану в яке-небудь стан за час під впливом пуассоновского потоку з інтенсивністю дорівнює.
. 2 Система інтегро-диференціальних рівнянь для ймовірностей неразоренние. Теорема існування та єдиності розв'язку
Розглянемо ймовірність неразоренние з -ого початкового стану ланцюга і ймовірність того, що банкрутство не відбувається при початковому капіталі і початковому стані.
Отримаємо інтегральні рівняння для ймовірностей неразоренние без припущення дифференцируемости функції.
Теорема 2.1
Вектор-функція задовольняє системі інтегральних рівнянь:
З теореми 2.1 випливає наступне твердження.
Вектор-функція - безперервно-дифференцируема на і задовольняє системі інтегрo-диференціальних рівнянь:
Розглянемо теорему існування та єдиності розв'язку системи інтегральних рівнянь (2.2), що задовольняють умові на нескінченності
Ця теорема доведена в [8] методом послідовних наближень.
У роботі був розглянутий наступний метод послідовних наближень для знаходження функцій які дають рішення задачі (2.2), (2.4)
де - деякі безперервні і неубутних на початкові функції такі, що.
Теорема 2.3. [7]
Нехай існує постійна така, що
Тоді :) Система (2.1), (2.4) має рішення з монотонно неубутних компонентами такими, що;) Для будь-якого початкового наближення такого, що
, відповідна послідовність наближень (2.5) поточечно сходиться до вирішення.
3. Диференціальні та інтегро-диференціальні рівняння для ймовірностей неразоренние страхової компанії у разі гамма-розподілу страхових позовів
У цьому розділі передбачається, що закон розподілу величин позовів страхової компанії, що знаходиться в -ом стан середовища, має з щільністю:
Тут - натуральні числа.
Тоді рівняння (2.3) перепишеться у такому вигляді:
Надалі ми будемо диференціювати рівність ...
