МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ГОУ ВПО
ВСЕРОСІЙСЬКИЙ ЗАОЧНИЙ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИЙ ІНСТИТУТ
Контрольна РОБОТА
по дисципліні
ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ТА ПРИКЛАДНІ МОДЕЛІ
Варіант № 2
Брянськ - 2009
ЗАВДАННЯ 1
Вирішити графічним методом типову задачу оптимізації
Радгосп для годування тварин використовує два виду корму. У денному раціоні тварини повинно міститися не менше 6 одиниць поживної речовини А і не менше 12 одиниць поживної речовини В. Яке кількість корму треба витрачати щодня на одну тварину, щоб витрати були мінімальними? Використовувати дані таблиці:
Корми Питат. речовини
Кількість поживних речовин в 1 кг корму
1
2
А В
2 2
1 4
Ціна 1 кг корму, т.руб. /Td>
0,2
0,3
Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що відбудеться, якщо вирішувати задачу на максимум і чому?
Рішення. Дане завдання оптимізації є задачею лінійного програмування. Позначимо види кормів через х 1 і х 2 . Цільовою функцією задачі є загальна вартість кормів, витрачених на годівля тварин, яка повинна бути найменшою. Число обмежень задачі дорівнює числу поживних речовин, що входять до складу кормів - 2. Додатково вводиться умова невід'ємності змінних. Знаючи ціни кормів, утримання поживних речовин у них можна сформулювати математичну модель задачі лінійного програмування:
В
Будуємо область допустимих рішень завдання (Див. рис.1 ). p> Область допустимих рішень задачі
Будуємо вектор-градієнт цільової функції задачі. За його початок приймаємо точку з координатами, рівними коефіцієнтами цільової функції з відповідним координатним осях 0,2 (1, 1,5), тоді кінцем вектора-градієнта буде точка з координатами (0, 0). Перпендикулярно вектору-градієнту будується пряма, яка характеризує поведінку цільової функції:
В
Для визначення положення точки мінімуму цільової функції пряма, перпендикулярна вектору-градієнту, зміщується в його напрямку до тих пір, поки вона не покине область допустимих рішень. Гранична точка області допустимих рішень при цьому русі і є точкою мінімуму. p> У нашій задачі - це точка В , утворена перетином граничних прямих обмежень I і II . Її координати визначаються рішенням системи
рівнянь цих прямих:
В
звідки x 1 * = 2; x 2 * = 2 і. p> Таким чином, щоб досягти мінімальних витрат, слід витрачати щодня на одну тварину по 2 кг кожного виду корми при витратах в 1 тис. руб.
Рішення даної задачі лінійного програмування на максимум позбавлене економічного сенсу, тому що витрати на корм прагнуть зменшити. Однак математично ця задача має рішення і на максимум: найбільше значення в області допустимих рішень цільова функція приймає в точці (0; 6), і це значення дорівнює
.
рис. 1 - Графічне рішення задачі лінійного програмування
ЗАВДАННЯ 2
Використовувати апарат теорії подвійності для економіко-математичного аналізу оптимального плану задачі лінійного програмування
Для виготовлення чотирьох видів продукції використовують три види сировини. Запаси сировини, норми його витрати і ціни реалізації одиниці кожного виду продукції наведені в таблиці.
Тип сировини
Норми витрати сировини на один виріб
Запаси сировини
А
Б
В
Г
I II III
1 0 4
0 1 лютому
2 3 0
1 4 лютого
180 210800
Ціна вироби
9
6
4
7
В
Потрібно:
1) Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від...
