Задачі максімізації та оптімізації ДІЯЛЬНОСТІ ПІДПРИЄМСТВА
1. Найпростіша завдання на максімізацію прибутку компании
Компанія Робить два продукти в кількості x1 и x2 тонн за місяць відповідно. Тонна Першого продукту приносити 12 тис.. грн .. прибутку, а тонна іншого - 8 тис.. грн. Виробничі потужності компании дозволяють віпускаті НЕ больше 100 тонн двох ПРОДУКТІВ разом, при цьом виробництво Першого продуктові не может перевіщуваті больше чем у три рази виробництво іншого. Треба візначіті оптимальний ОБСЯГИ виробництва, что приносити компании оптимальний прибуток.
Стосовно до даної задачі цільова функція (крітерій оптімальності) має вигляд
F (x1, x2, ...... xn) = F (x1, x2) = 12x1 +8 x2 тис.. грн.
ОБСЯГИ випуску x1 и x2 є Свідомо Позитивні величини, тоб
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0. br/>
Між значень x1 и x2 маються зв'язки
x1 + x2 ≤ 100 x1 ≤ 3 x2
Таким чином, підходімо до Типової задачі лінійного математичного програмування, колі треба відшукаті Значення керуючих параметрів x1, x2, что додаються Максимально Значення цільової Функції 12x1 + 8x2 з урахуванням фіксованіх зв'язків и обмежень.
Постановку и розв'язання цієї задачі ЗРУЧНИЙ проілюструваті графічно, відобразівші зв'язки ї обмеження в Системі координат x1, x2, як зображено на рис. 1. br clear=all>В
Рис.1. - Графічна Інтерпретація задачі оптімізації
Внаслідок позитивне значення x1 и x2 (x1 ≥ 0; x2 ≥ 0) роз'вязання Варто шукати в первом квадранті. Обмеження за сумарная випуском (x1 + x2 ≤ 100) звужує область поиска до трикутника ОАС, Який знаходится всередіні обмеженності зверху прямою x1 + x2 = 100. Обмеження x1 ≤ 3 x2 ще більш звужує область Припустиме за умів задачі значень x1 и x2, укладаючі ее в трикутник ОАВ, обмеженності знизу прямою x1 ≤ 3 x2. Серед усіх значеннях x1 и x2, ув'язнених всередіні ОАВ, оптимальним відповідає струму В. У Цій точці, что відповідає координатам x1 = 75; x2 = 25, досягається найбільше з Припустиме значень x1, рівне 75. До найбільшого ж Значення x1 і треба прагнуті, ТОМУ ЩО перший вид ПРОДУКЦІЇ Дає у розрахунку на одну тонну больше прибутку, чем другий (12> 8), тоб треба вібіраті найбільше з можливіть, Припустиме значень x1. Оптимальному роз'вязанню відповідає, таким чином, точка B, у якій цільова функція досягає свого максимального значення
12x1 + 8x2 = 12 В· 75 + 8 В· 25 = 1100 тис.. грн.
Легко перевіріті, что усередіні трикутника ОАВ будь-яке Інше сполучення, крім x1 = 75; x2 = 25, Забезпечує менший сумарная прибуток.
2. Транспортна задача
Розглянемо спочатку Загальну постановку цієї й достатньо складної оптімізаційної задачі и побудуємо ее економіко-математичну модель, якові потім проілюструємо найпростішім прикладом.
Нехай є n постачальніків товару и m его споживачів. Коженая "i" постачальник здатн поставляти споживачам за визначеня годину кількість товару, рівному Ni, а КОЖЕН "J" споживач має потребу в кількості товару, рівному Mj. Познаніжо через xij кількість товару, что поставляється "i" постачальником "j" споживачу. Тоді загальний ОБСЯГИ ПОСТАЧАННЯ Q, дорівнює ОБСЯГИ Попит всех споживачів, вирази співвідношенням:
Q =, (1)
де Nj = Є сума ПОСТАЧАННЯ усім m споживачам з боку "i" Постачальника.
Mj = є сума потреб "j" споживач, засвідчуваніх постачальником всех n постачальніків.
Пріймемо далі, что ВАРТІСТЬ перевезення товару "i" постачальником "j" споживачу дорівнює cij. Тоді загальна ВАРТІСТЬ перевезень, что залежався від Прикріплення "i" Постачальника до "j" споживача, тоб від значень xij дорівнює
F (Xij) =, i = 1,2 ... n; j = 1,2 ... m (2)
Оптімізаційна завдання Полягає в тому, щоб найти Значення xij, тоб Величини ПОСТАЧАННЯ (Перевезень) товару від шкірного Постачальника до шкірного споживача, при якіх загальна ВАРТІСТЬ перевезень F (x11, x12, ... xij, ... xnm) буде мінімальною. Роз'вязання задачі повинною задовольняті таким обмеженності:
1) УСІ Значення xij ненегатівні, тоб
xij ≥ 0, (3)
2) можлівість перевезень и Предложения споживача задовольняються Цілком, что віражах співвідношенням (1).
Економіко-математична модель транспортної задачі, у поданому віді, яка характерізується цільовою функцією (2) i обмеженності (1), (3), являє оптімізаційну модель задачі лінійного математичного програмування. Роз'вязання таких завдань при великих значень кількості постачальніків товарі "n" і кількості споживачів товарі "m" вімагає! застосування складаний математичних методів. Тому проілюструємо роз'вязання транспортної задачі на простому прікладі, в якому відшукання оптимального роз'вяза...
