Московський Державний Інститут Електроніки і Математики
(Технічний Університет)
В В В В В В В В В В В
Курсова робота
за курсом
"Теорія випадкових функцій"
В В В В В В В
Студент: Ференец Д.А.
Викладач: Медведєв А.І.
Варіант: 2.4.5.б
В В В В В В В В В В В В В В В В В В В
Москва, 1995
Дано:
Відновлювана, резервована система (5,1) з КПУ, ймовірність спрацьовування КПУ дорівнює b. p> Час невиходу з ладу (тобто безвідмовної роботи) основного елемента розподілено експоненціально з параметром a.
Час відновлення вийшов з ладу елемента розподілено експоненціально з параметром m.
Тип резервіроавнія - ненавантажений.
Для опису стану системи введемо двовимірний випадковий поцесс n (t) = (x (t), d (t)) з координатами, що описують:
- функціонування елементів
x (t) ГЋ {0, 1, 2} - число несправних елементів;
- функціонування КПУ
d (t) ГЋ {0,1} - 1, якщо справний, 0 - якщо ні. p> Так як часи безвідмовної роботи і відновлення мають експоненціальне розподіл, то в силу властивостей експоненціального розподілу, отримаємо, що x (t) - однорідний Марківський процес.
Визначимо стан відмови системи:
Система відмовляє або якщо переходить в стан 2 процесу x (t) (тобто відмова будь-якого елемента при кількості резервних елементів, рівним нулю), або якщо перебуває в стані 0 процесу d (t) (тобто відмова будь-якого елемента і відмова КПУ).
Таким чином, можна побудувати граф станів системи:
В В В В В В В В
0
1
П
В В В В В В В
0 - стан, при якому 0 несправних елементів,
тобто стан n (t) = (0, d (t))
1 - стан, при якому 1 несправний елемент,
тобто стан n (t) = (1, 1)
П - стан, при якому або 2 несправних елемента, або 1 несправний елемент і несправний КПУ,
тобто композиція станів n (t) = (1, 1), n ​​(t) = (2, 0) - поглинаючий стан. <В
Знайдемо інтенсивності переходів.
Так як вихід з ладу кожного з елементів - події незалежні, то отримаємо:
ймовірність виходу з ладу елементи: 1-exp (-5ah) = 5ah + o (h)
ймовірність відновлення елемента: 1-exp (-mh) = mh + o (h)
Гћ
Нехай
Гћ Отримаємо систему диференціальних рівнянь Колмогорова:
В В В В
Нехай,
тобто застосуємо перетворення Лапласа до.
В
Т.к. , То, підставляючи значення інтенсивностей, отримуємо:
В В В
Гћ
В
Гћ
В
(- корінняВ = 0)
В
Представляючи кожну з отриманих функцій у вигляді суми двох правильних дробів, отримуємо:
В В В
Застосовуючи зворотне перетворення Лапласа, отримуємо вирази для функцій:
В
Гћ
Гћ
В
Гћ Шукана ймовірність невиходу системи з ладу за час t:
В
,
В
де
,
В В
Отже,
,
де
В <В
Визначимо тепер середній час життя такої системи, тобто M T
(T - час життя системи):
В В В
Гћ
В В В В
