илі на поверхню розділу двох середовищ з параметрами швидкостей поздовжніх, поперечних хвиль (V S1, V S2) і густин (? 1,? 2) виникають відображена та проходить Р-хвилі, а також відображена та проходить S-хвилі. Останні дві хвилі називають обмінними. Кути падіння, відбиття і проходження на кордоні для всіх хвиль взаємопов'язані згідно закону Снелліуса:
(4.1)
Точне рішення задачі визначення коефіцієнтів відбиття та проходження дано Цёппрітцем в 1919 р З рівнянь Цёппрітца випливає, що при нормальному падінні Р-хвилі на межу обмінних хвиль не виникає, а коефіцієнт відбиття визначається виразом:
, (4.2)
де, I P2=V 2? 2 і I P1=V 1? 1 - акустичні жорсткості (імпеданс) середовищ 2 і 1,
? I P=I P2 - I P1, P=(I P2 + I P1)/2.
Малюнок 4.1 - При косому падінні плоскої Р-хвилі на межу двох пружних середовищ виникають чотирьох хвилі
Поведінка коефіцієнтів відбиття Р-хвиль навіть в області невеликих угло?? (до 30 °) істотно залежить від співвідношення швидкостей VP/VS (або коефіцієнтів Пуассона) покриває і підстилаючої товщ. Якщо значення VP/VS для обох середовищ близькі, то коефіцієнти відображення в цьому діапазоні кутів також близькі до коефіцієнтів відбиття для нормального падіння. Якщо VP/VS для контактуючих середовищ різні, то поведінка коефіцієнта відбиття може сильно відхилятися від випадку для нормального падіння.
Рівняння Цёппрітца занадто складні і не лінійні щодо входять до них параметрів - швидкостей і плотностей. Акі і Річардс в 1980 р запропонували корисне наближення для коефіцієнта відбиття плоскої хвилі на кордоні між двома Напівпростір, де скачки пружних параметрів малі. Розглянемо формулу, що стосується коефіцієнта відбиття R PP (i) для поздовжньої хвилі:
, (4.3)
? V P=V P2 -V P1,? V S=V S2 -V S1, ?? =? 2 -? 1, V P=(V P2 + V P1)/2, V S=(V S2 + V S1)/2,? =(? 2 +? 1)/2, i=(i 2 + i 1)/2.
Ця формула виведена в припущенні малості величин? V P,? V S, ??.
Шуе в 1985 р справив перестановку членів в рівнянні Акі-Річардса і отримав класичну тричленну AVO-апроксимацію коефіцієнта відбиття:
(4.4)
Перевага цієї формули в тому, що, на відміну від (4.3), кожен член рівняння відображає роль певного діапазону кутів падіння. Перший член (R 0) приблизно рівний коефіцієнту відбиття поздовжньої хвилі (4.2) для нормального падіння, тобто коефіцієнт відбиття Р-хвилі при нормальному падінні:
(4.5)
Другий коефіцієнт при sin 2 i (G) характеризує R PP (i) при проміжних кутах падіння (0 ° lt; i lt; 30 °), тобто градієнт, що характеризує коефіцієнт відбиття при похилому падінні, в діапазоні кутів 0 - 30 о. Тільки в G містяться дані про швидкостях, як поперечних хвиль, так і поздовжніх і цей множник з використанням відомого співвідношення між VS/VP і коефіцієнтом Пуассона?:
(4.6)
може бути виражений через коефіцієнт Пуассона:
, (4.7)
,
Третій коефіцієнт при sin 4 i/(1-sin 2 i) (С) превалює при кутах близьких до критичних, тобто кривизна - коефіцієнт, який набуває суттєве значення при кутах падіння, що перевищують 30 o.
На основі цього аналізу рівняння (4.4) може бути записано у вигляді:
R PP (i)=R 0 + G sin 2 i (4.8)
Рівняння (4.8) - це рівняння двучленной апроксимації Шуе і на ньому засноване більше число практичних застосувань AVO.
Крім основного рівняння (4.8) при AVO аналізі використовують інші висловлювання, отримані з формул (4.3) і (4.4). Віггінс в 1983 р, припускаючи, що кути падіння малі і можна припустити, що sec? i? 1 + sin? i, враховуючи вираз (4.5), позначаючи, і допускаючи, що VS/VP=0,5 (або?? 0,33), він остаточно отримав:
, (4.9)
де, RP і RS - коефіцієнти відображення Р- і S-хвиль при нормальному падінні їх на кордон.
З порівняння виразів (3.8) і (3.9) видно, що В? R P - 2R S, звідки
(4.10)
Верма і Хілтерман отримали інший вираз для R PP (i) шляхом заміни коефіцієнта Пуассона? в перших двох членах формули (4.7) співвідношенням VS/VP=0,5 і подальшої підстановкою значення В у вираз (4.8):
, (4.11)
де, величина PR=??/(1?) 2? ??/0,449? 2,25 ?? (Для?=0,33) названа пуассонівська відбиває ...
