на не залежить від порядку, в якому вироблялися стирання .
Рішення.
Позначимо через х0, х1, х2 число нулів, одиниць і двійок відповідно. Виконавши один раз дозволену операцію, ми змінимо кожне з цих чисел на 1 і, отже, змінимо парність всіх трьох чисел. Коли на дошці залишається одна цифра, два з чисел х0, x1, х2 стають дорівнюють нулю, а. третє - одиниці. Значить, з самого почала два з цих чисел мають одну парність, а третє-іншу. Тому незалежно від того, в якому порядку виробляються стирання, наприкінці одиниці може дорівнювати лише одне з чисел х0, х1, x .2, яке з самого початку мало не ту парність, що два інших. p> З наведеного рішення видно, що якщо числа х0 , х1, х2 мають одну і ту ж парність, то ми не зможемо домогтися, щоб на дошці залишилася одна-єдина цифра. Доведіть, що якщо серед чисел х0, х1 х2 є як парні, так і непарні, і, крім того, хоча б два з них відмінні від нуля, то існує такий порядок стирок, що в результаті на дошці залишиться 'одна цифра.
Змінимо умову задачі 3: вимагатимемо, . Щоб одні й ті ж дві нерівні цифри стиралися два рази, а замість них записувалася одна цифра, відмінна від стертих. Припустимо, що знову після деякого числа операції на дошці залишилася одна-єдина цифра. Чи можна заздалегідь, за кількістю нулів, одиниць і двійок, передбачити, яка це цифра?
Міркування з парність тут не допомагає, бо в результаті виконання кожної операції одне з чисел х0 , х1, x 2 змінює свою парність, а два інших зберігають парність, так що числа, що мали різну парність, можуть тепер отримати одну і ту ж парність. Однак можна помітити, що залишки від ділення чисел х0 , х1 , х2 на 3 змінюються щоразу таким чином, що рівні залишки залишаються рівними, а нерівні залишаються нерівними. Подальші міркування повторюють рішення задачі 3.
2.13. У кожній клітці таблиці 8х8 написано деяке ціле число. Дозволяється вибирати в таблиці будь квадрат розмірами 3х3 або 4х4 і збільшувати на одиницю всі стоять в клітинах обраного квадрата числа. Чи завжди можна за допомогою таких операцій перетворити вихідну таблицю в таблицю, у якій вага числа діляться на З?
Рішення.
Ні, не завжди. Най-дем суму чисел, написаних у заштрихованих на малюнку 6 клітинах. Оскільки будь-який квадрат розмірами 4х4 містить 12 заштрихованих клітин, а квадрат розмірами 3х3-6 або 9 таких клітин, то в результаті описаної операції залишок від ділення на 3 цієї суми (чисел, що стоять в заштрихованих клітинах) не мінятиметься. Тому, якщо з самого початку знайдена сума не ділиться на 3, то серед заштрихованих клітин весь час будуть зберігатися клітини, в яких написані цифри не крат-ни трьом.
2.14. З всякої чи таблиці можна в умовах задачі 4 отримати таблицю, що не містить парних чисел?
2.15. Ч...
