якщо вони однакові, і мінус в іншому випадку. Який знак залишиться, на дошці після виконання двадцяти чотирьох таких операцій.
Рішення.
Замінимо кожен плюс числом 1, а кожен мінус чис-лом -1. Дозволена операція описується тоді так: стираються будь-які два числа і записується їх твір. Тому твір всіх написаних на дошці чисел залишається незмінним. Так як спочатку цей твір дорівнювало -1, то й наприкінці залишиться число -1, тобто знак мінус.
Це міркування можна було провести інакше. Замінимо всі плюси нулями, а мінуси-одиницями, і зауважимо, що сума двох стираних чисел має ту ж парність, що і число, що записується замість них. Так як
спочатку сума всіх чисел була непарної (Вона дорівнювала 15), то і останнє, на дошці число буде непарних, тобто одиницею, і, значить, на дошці залишиться мінус.
Нарешті, третє рішення задачі можна отримати, зауваживши, що в результаті кожної операції число мінусів або не змінюється, або зменшується на два. Оскільки спочатку число мінусів було непарних, то й наприкінці залишиться один мінус.
Проаналізуємо всі три рішення.
Перше рішення грунтувалося на незмінюваності твори написаних чисел, друге-на незмінюваності парності їх суми та третє - на незмінності парності числа мінусів. У кожному рішенні нам вдалося знайти інваріант: твір написаних чисел, парність суми, парність числа мінусів. Рішення наступних завдань також грунтується на вдалому підборі інваріанта.
2.9. На дошці напи-сано кілька плюсів і мінусів. Дозволяється стерти будь-які два знаки і написати замість них плюс, якщо вони різні, та мінус в іншому випадку. Доведіть, що останній залишився на дошці знак не залежить від порядку, в якому вироблялися стирання.
2.10. У таблиці 4х4 знаки В«+В» і В«-В» Розставлені так, як показано на малюнку 13. Дозволяється змінити знак на протилежний одночасно у всіх клітинах, розташованих в одному рядку, в одному стовпці або вздовж прямої, паралельної небудь з діагоналей (зокрема, в будь кутовий клітці). Чи можна за допомогою цих операцій отримати таблицю, що не містить жодного мінуса?
Рішення.
Замінимо плюси і мінуси числами 1 і -1. В якості інваріанта можна взяти твір чисел, що перебувають у клітках, які заштриховані на малюнку 14, оскільки воно в результаті
дозволеної операції весь час зберігає початкове значення, рівне -1. Але, значить, серед заштрихованих чисел завжди буде залишатися -1, отже, отримати таблицю, що не містить ні одного мінуса, нель-зя.
2.11. Математичне завдання 2 для таблиць, зображених на малюнках 15 - 17. p> 2.12. На дошці написано кілька нулів, одиниць і двійок. Дозволяється стерти дві нерівні цифри і замість них написати одну цифру, відмінну від стертих (2 замість 0 і 1, 1 замість 0 і 2, 0 замість -1 і 2). Доведіть, що якщо в результаті декількох таких операцій на дошці залишиться одна-єдина цифра, то во...
