"> Розгляд методу Ньютона почнемо з його геометричного подання (малюнок 1).
Малюнок 1 - Метод Ньютона
Візьмемо точку х 0 відрізка [a, b] і проведемо в точці P 0 з координатами (x 0, f (x 0)) дотичну до кривої y=f (x) до перетину з віссю 0х. Отримаємо значення х 1, в якому дотична перетинає вісь 0x. Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної від функції f (x) в точці дотику.
Отже, рівняння дотичної, що проходить через точку з координатами (x 0, f (x 0)) має вигляд:
(5)
Вважаючи y=0, знаходимо точку перетину дотичної з віссю 0х, яку позначимо через х 1:
(6)
абсцис х 1 точки перетину можна взяти в якості наближеного значення кореня.
Провівши дотичну через нову точку з координатами (x 1, f (x 1)) і знаходячи точку її перетину з віссю 0х, отримаємо другий наближення кореня х 2.
Аналогічно визначаються наступні наближення.
Наступні наближення знаходимо відповідно за формулами:
(7)
У загальному випадку для k-го кроку ітераційного процесу останнє співвідношення приймає вигляд:
(8)
З формули (8) випливає необхідність обчислення значення похідної функції f (x) в кожній точці. Процес знаходження кореня може вважатися закінченим, коли модуль відносини значення функції в точці xk до її похідної менше заданої величини похибки:
(9)
Тобто, коли виконується така умова:
(10)
Таким чином, для реалізації методу Ньютона необхідно:
1) Поставити в явному вигляді рівняння f (x), коріння якого необхідно визначити.
2) Визначити першу похідну функції f (x) в аналітичному вигляді.
) Визначити початкове наближення х 0, що забезпечує швидку збіжність методу.
) Поставити точність знаходження кореня рівняння f (x).
) Реалізувати в програмі итерационную процедуру, що реалізовує формулу (8)
2. Завдання лінійного програмування
Підприємство планує випуск двох видів продукції I і II, на виробництво яких витрачається три види сировини А, В і С. Потреба a ij i-го виду сировини на кожну одиницю j-го виду продукції, запас bi відповідного виду сировини і прибуток cj від реалізації одиниці j-го виду продукції задані таблицею:
Таблиця 1
Види сирьяВіди продукцііЗапаси сирьяIIIA4236B1111C2540прібиль66план (од.) x 1 x 2
1. Для виробництва двох видів продукції I і II з планом x 1 і x 2 одиниць скласти математичну модель, тобто цільову функцію прибутку F і відповідну систему обмежень щодо запасів сировини, припускаючи, що потрібно виготовити в сумі не менше n одиниць обох видів продукції .
2. Знайти оптимальний план X *=(x 1, x 2) виробництва продукції, що забезпечує максимальний прибуток F max. Визначити залишки кожного виду сировини. Завдання вирішити симплекс-методом.
. Побудувати по отриманій системі обмежень багатокутник допустимих рішень і знайти оптимальний план виробництва геометричним методом . Визначити максимальний прибуток F max.
. Скласти математичну модель двоїстої задачі (систему обмежень за одиничною прибутку і цільову функцію загальних витрат на сировину Z); знайти оптимальний набір цін на сировину Y *=(y 1, y 2, y 3), що забезпечує мінімум загальних витрат на сировину Z min.
. Провести аналіз первинних і додаткових змінних вихідної і двоїстої задач, зробити висновки .
. Вирішити завдання оптимізації в MS Excel в режимі «пошук рішення» . Провести дослідження отриманого рішення, використовуючи звіти за результатами, по стійкості, по межам; зробити висновки . Відповіді, отримані в результаті рішень «вручну» і за допомогою Excel, повинні збігатися.
Рішення:
Припустимо, що буде використано х 1 сировини А для виготовлення продукції I, х 2 сировини для виробу II. Тоді загальний прибуток складе 6х 1 + 6х 2.
Так як загальна кількість сировини А не може перевищувати 36 одиниць, то повинно виконуватися наступне нерівність:
х 1 + 2х 2? 36.
Аналогічні міркування ...
