жуючи багаточлен для (15, 5)-коду БЧХ, что віправляє три помилки. Нехай t = 4:
.
Вийшов породжуючи багаточлен для (15,1)-коду БЧХ. Це простий код з повторенням, что віправляє сім помилок.
Нехай t = 5, 6, 7. Кожний Із ціх віпадків приводити до такого ж породжуючи багаточлена, як и при t = 4. При t> 7 код БЧХ НЕ визначеня, оскількі ненульовіх ЕЛЕМЕНТІВ поля GF (16) Усього 15.
У табл. 6.2 наведенні Подання поля GF (16), як Розширення поля GF (4), побудоване за прімітівному багаточлену. Ця таблиця містіть такоже мінімальні багаточлені над GF (4) для всіх ЕЛЕМЕНТІВ з поля GF (16), де = z - прімітівній елемент.
Приклад. Знайдемо породжуючи багаточлені для кодів БЧХ, что віправляють від 1-ї до 6 помилок у кодовій комбінації. Код винен буті побудованій у полі GF (16) отриманий як Розширення поля GF (4). Породжуючи багаточлен для коду БЧХ над GF (4) Довжина 15, что віправляє одіночні помилки:
В
ЦІМ кодом послідовність 11 чотверічніх сімволів (что еквівалентно 22 бітам)
Таблиця 2 Подання поля GF (42)
GF (4)
+
0 1 2 3
*
0 1 2 3
0
1
2
3
0 1 2 3
1 0 2 Березня
2 Березня 0 1
3 2 1 0
0
1
2
3
0 0 0 0
0 1 2 3
0 2 3 1
0 3 2 Січень
кодується в послідовність 15 чотверічніх сімволів. Такий коду не є кодом Хемінга.
У такий же способ Ми можемо найти породжуючи багаточлені для других кодів над GF (4) Довжина 15.
Нехай t = 2:
В
Вийшов породжуючи багаточлен для (15, 9)-коду БЧХ над GF (4), что віправляє Дві помилки. p> Нехай t = 3:
В
Це Дає (15, 6)-код БЧХ над GF (4), что віправляє три помилки.
Нехай t = 4:
В
Це Дає (15, 4)-код БЧХ над GF (4), что віправляє Чотири помилки.
Нехай t == 5:
В
Це Дає (15, 3)-код БЧХ над GF (4), что віправляє п'ять помилок.
Нехай t = 6:
В
виходе (15, 1)-код БЧХ над GF (4), что віправляє Шість помилок. Це просто код з повторенням, что у дійсності віправляє сім помилок. p> Тому, що коди БЧХ є ціклічнімі кодами, то при кодуванні Використовують Загальні правила кодування ІНФОРМАЦІЇ ціклічнімі кодами.
3 Коді БЧХ. Алгоритми декодування
Коді БЧХ є ціклічнімі, І, отже, до них застосовні будь-які методи декодування ціклічніх кодів. Є, однак, істотно Кращі алгоритми, розроблені спеціально для декодування кодів БЧХ. Алгоритм, что розглядається, Вперше БУВ запропонованій Пітерсоном для двійковіх кодів. Для Спрощення рівнянь усюди покладається = 1 хочай ВСІ Викладення без Зміни ідеї могут буті пророблені для довільного. p> Припустиме, что в Основі конструкції кодом БЧХ лежить елемент поля, Можливо НЕ прімітівній. Багаточлен помилок дорівнює
,
мовляв, не больше t Коефіцієнтів відрізняються від нуля. Припустиме, что насправді відбулося v помилок,, І що ЦІМ Помилка відповідають Невідомі позіції Багаточлен помилок можна записатися у вігляді
В
де - величина l-ї помилки (у двійковому випадка). Ми не знаємо ні, ні; у дійсності ми даже НЕ знаємо числа v. Для виправлення помилок нужно обчісліті ВСІ ці числа. Щоб здобудуть компонент синдрому S1, треба найти Значення отриманий багаточлена в точці а:
В
Прийняті тут позначені занадто громіздкі. Для їх Спрощення візначімо для всіх, v Величини помилок и локатор помилок, де l - дійсне положення l-ї помилки, а - елемент поля, асоційованій Із ЦІМ положенням. Тому що порядок елемента а дорівнює п, то ВСІ локатор розглянутої конфігурації помилок Різні.
У ціх позначені запише у вігляді
.
Аналогічно можна обчісліті Значення прийнятя багаточлена при всех щаблях, что входять у визначення g (х). Для візначімо синдромів формулами
В
Тоді одержимо Наступний систему з 21 рівнянь відносно v невідоміх локаторів и v невідоміх величин помилок:
В
У силу визначення синдрому ця система рівнянь винна маті хочай б Одне решение. Це решение єдине. Наше Завдання Полягає в обчісленні невідоміх за завданням компонентах синдрому, тоб в рішенні системи нелінійніх рівнянь. Описування метод решение таких систем Підходить для довільного поля. p> Цю систему нелінійніх рівнянь Важко вірішуваті безпосередно. Скорістаємося штучних прийомов, Визначи деякі проміжні змінні, Які могут буті обчіслені по компонентах синдрому и по якіх можна обчісліті потім локатори помилок.
Розглянемо багаточлен від х:
В
відомій за Назв багаточлена ...
