локаторів помилок и обумовлення як багаточлен, коріннямі Якого є зворотні до локаторів помилок величиною для. Отже,
В
Если КОЕФІЦІЄНТИ цього багаточлена відомі, то для обчислення локаторів помилок нужно найти его корінь. Тому Спробуємо спочатку обчісліті за завданням компонентах синдрому КОЕФІЦІЄНТИ.
Помножімо обідві Частини рівності, что візначає цею багаточлен, на і покладемо. Тоді ліва частина звернеться в нуль, и ми одержимо
В
або
.
Ця Рівність віконується при шкірному l и при шкірному j. Підсумуємо ці рівності по l від 1 до v. Для шкірного j це Дає
В
Або
В
Кожна сума в лівій частіні Останньоі рівності є компонентом синдрому, так что рівняння приводитися до увазі
В
Тому що, то для j в інтервалі ВСІ Індекси задають відомі компоненти синдрому. Таким чином, одержуємо систему рівнянь
,
тоб систему лінійніх рівнянь, что зв'язує компоненти синдрому з коефіцієнтамі багаточлена (х). Если матриця невіроджена, то Цю систему можна вірішіті Шляхом Рисунок 1 - Декодер Пітерсона-Горенштейна-Цірлера. p> Оскількі число ЕЛЕМЕНТІВ поля обмеже, звичайна найпростішім Шляхом знаходження корінь багаточлена є метод проб и помилок, відомій як процедура Ченя. Ця процедура Складається просто в послідовному обчісленні для шкірного j и перевіркі отриманий Значення на нуль. Найбільш простий спосіб обчислення значення в точці є схема Горнера:
.
Для обчислення за схем Горнера нужно Тільки v множення и v додавань.
Як приклад процедури декодування, розглянемо декодування (15,5)-коду БЧХ, что віправляє три помилки и має породжуючи багаточлен g (х) = х10 + х9 + х6 + х4 + х2 + х + 1.
Алгоритм декодування подань на рис. 1. br/>В
Для приклада будемо вважаті чинний багаточлен рівнім v (х) = x7 + x2. Ясно, что Якби відбулося НЕ больше трьох помилок, то кодовий слово винне Було б буті Нульовий и v (х) = е (х), альо декодер НЕ может сделать такого висновка. Виконаємо ВСІ крокі алгоритмом декодування. Спочатку обчіслімо компоненти синдрому, вікорістовуючі арифметику в полі GF (16):
В
Нехай v = 3, тоді
В
Визначник М дорівнює нулю; отже, пріпускаємо v = 2. Тоді
В
Визначник НЕ дорівнює нулю; отже, відбулося Дві помилки. Далі,
В
та
В
отже,
В
Вікорістовуючі процедуру Ченя, одержуємо розкладання
В
Багаточлен локаторів помилок має Корні й, а локатори помилок дорівнюють елементи, зворотнього корінням. Таким чином, помилки відбуліся в Другій и сьомій позіціях. Оскількі код є двійковім, значення помилок Рівні 1 і. br/>
