в в моделях з шумами, що мають двогорбий розподіл. У цій частині буде розглянуто метод побудови рангової оцінки параметрів лінійної регресійної моделі.
Отже, розглянемо лінійну модель:,
де y - спостережуване значення залежної змінної,
x 1, ..., xm - значення незалежних пояснюють змінних (або регресорів),
? 0, ...,? m - невідомі параметри моделі,
а?- Випадкова помилка спостереження, що має нульове математичне очікування.
При наявності n спостережень значення залежної змінної і набору її регресорів, модель запишеться у матричному вигляді:
,
де - вектор спостережуваних значень залежної змінної,
- матриця плану повного столбцовая рангу, число стовпців якої не перевищує числа рядків, її елемент - значення j-го регресорів в i-му спостереженні, - вектор параметрів, а - вектор незалежних, однаково розподілених помилок з нульовим математичним очікуванням і ковариационной матрицею виду, де I -единичная матриця розміру nxn.
Для побудови оцінки рангових методом потрібно ввести функцію D (Y- X?) - міру мінливості. Мірою мінливості (або функцією втрат) називається така функція D (.), Що і для будь-якого n-мірного вектора Z і скаляра a. Якщо розглядати цю функцію як функцію від m змінних - параметрів? 1, ...,? m, то точка, в якій функція D досягає мінімуму, буде оцінкою параметрів регресійної моделі. Функція мінливості не залежить від зсуву, тому оцінка вільного члена? 0 для моделі проводиться окремо від оцінки решти параметрів.
У статті Л. Джекла ранговою оцінкою вектора параметрів (без вільного члена? 0) називається такий вектор, який мінімізує функцію, де yi - i-й елемент вектора Y, xi - i-й рядок матриці X (без стовпця одиниць), R (yi - xi?) - ранг величини yi - xi? серед всіх величин y k - x k? при k від 1 до n, а в якості функції? береться.
У книзі Т. Хеттманспергера для побудови оцінок параметрів? 1, ...,? m регресійній моделі пропонується знайти приватні похідні функції D (Y - X?) по змінним? i:, і вирішити систему рівнянь:
.
Недоліком такого способу оцінювання є складність вирішення подібної системи рівнянь при числі параметрів m більшому одиниці. Тому, в даній роботі пропонується побудова наближення рангової оцінки вектора параметрів за допомогою чисельній мінімізації функції D.
У статті Л. Джекла приведено наступна теорема: при фіксованому Y функція D (Y - X?) - неотрицательная, безперервна і опукла функція?.
У силу цього твердження, можна шукати мінімум функції D (Y- X?) за допомогою чисельних методів з відшукання локального мінімуму. У даній роботі при проведенні експериментів для знаходження мінімуму функції D використовується вбудований в Matlab метод симплексного пошуку.
Метод симплексного пошуку точки мінімуму функції k змінних f (z 1, ..., zk) полягає у виконанні наступних етапів:
· Спочатку вибирається початкове наближення точки мінімуму z 0=(z 1 0, ..., zk 0), на додаток до цієї точки генеруються ще k шляхом додавання по черзі до кожної компоненті z 0 5% її значення. У точках z 0, ..., zk обчислюється значення функції f. Ці точки ранжуються за зростанням значення функції в них, виходить набір точок a 0, ..., ak таких, що f (ai) lt; f (a j) при i lt; j. Точки a 0, ..., ak утворюють симплекс.
· Генерується нова точка r, значення функції в ньому порівнюється зі значеннями функції в вершинах симплекса. Якщо в якійсь вершині значення функції перевершує значення функції в даній точці r, то ця точка стає новою вершиною симплекса, а точка ak з найбільшим значенням функції в ній забирається з розгляду. Наявні вершини знову сортуються за зростанням значення функції в них.
· Попередній крок повторюється до тих пір, поки діаметр симплекса не буде менш як заданої величини. По закінченні алгоритму в якості розв'язання задачі мінімізації функції вибирається точка a 0 з відсортованої набору вершин симплекса.
Даний метод підходить для задачі мінімізації функції втрат, оскільки для безперервних функцій дозволяє знайти локальний мінімум з невеликою помилкою. В силу опуклості функції будь-який кінцевий локальний мінімум, навіть не єдиний, буде глобальним мінімумом і підходити для оцінки параметрів.
У книзі Т. Хеттманспергера також вказано, що діаметр безлічі точок?, на яких функція досягає мінімуму, сходиться до нуля за ймовірністю. А це означає, що безліч точок, що мінімізують функцію D, буде мало навіть при помірному числі спостережень.
Згідно Т. Хеттмансперге...
