>
З рівнянь видно, що будь-яка зміна в чисельності травоїдних впливає на чисельність м'ясоїдних і навпаки, тому дві популяції потрібно розглядати разом.
Якщо популяція травоїдних збільшується, ймовірність зустрічей хижак-жертва зростає, і, відповідно (через деякий час), зростає популяція хижаків. Але зростання популяції хижаків призводить до скорочення популяції травоїдних (також після деякої затримки), що веде до зниження чисельності потомства хижаків, а це підвищує число травоїдних і так далі.
Покладемо в першому рівнянні p=0, тобто тепер
Бачимо, що у відсутності зустрічей з хижаками чисельність травоїдних тварин описується моделлю Мальтуса, тобто росте експоненціально.
Аналогічну операцію можна виконати і з другим рівнянням, поклавши q=0, отримаємо
Тут знову побачимо, що відсутність зустрічей з жертвами негативно впливає на популяцію хижаків, вона йде на спад.
Дані зміни чисельності хижаків і жертв описуються графіками 1 і 2.
За допомогою Maple побудуємо графіки розвитку популяцій хижаків і жертв.
Задаємо систему Вольтерра-Лотки:
Задамо значення констант, покладемо їх=1:
Далі вирішуємо систему, вважаючи, наприклад, що жертв у нас в два рази більше, ніж хижаків, тобто x (t)=1, y (t)=0.5.
Для того щоб отримати чисельності популяцій, задамо час:
Отримаємо:
Далі будуємо графіки на підставі цих даних:
Графік 3
На графіку 3 популяція жертв позначена червоним, а популяція хижаків - зеленим кольором, відповідно. Видно, що коливання популяції жертви випереджають коливання популяції хижака.
Тепер побудуємо фазову криву даної системи, для цього позначимо на графіку початкову точку (1,0.5):
Далі намалюємо фазову криву, змінюючи параметр t в діапазоні від 0 до T, де T - період, який визначається за графіком 3:
Отримуємо наступний графік:
Графік 4
Фазова крива на графіку 4 показує нам поведінку популяцій хижаків і жертв. Точка (1, 0.5) - наша початкова точка. При русі вправо зростає чисельність жертв, зростає майже експоненціально, але разів зростає кількість жертв, значить, зросте і член qxy в системі Вольтерра-Лотки, який відповідає за взаємодію жертви з хижаком. Далі, рухаючись на північний схід, кількість жертв x починає зменшуватися, а кількість хижаків y - збільшуватися, тому крива рухається вгору. Природно, що чим більше хижаків, тим менше жертв, але, коли qx зрівнюється, а потім стає менше b в другому рівнянні системи, зростання поголів'я хижаків починає знижуватися.
З графіка 4 ясно, що модель має циклічний характер і певний період. Тенденція графіків 3 і 4 полягає в тому, що зростання поголів'я хижаків слід за зростанням поголів'я жертв.
Також можемо побудувати фазовий портрет, який відображає поведінку моделі хижак-жертва :
Графік 5
2. Практична частина
Практична частина моєї курсової роботи полягає у розгляді випадку хижак-дві жертви raquo ;, вирішенні рівняння, побудові графіків і фазових кривих, що відображають поведінку популяцій хижаків і жертв.
Задамо систему диференціальних рівнянь, відповідну поставленому завданню:
Система 1
Задамо цю систему в Maple і вирішимо, вважаючи все константи=1 і вказавши деякі початкові умови:
Далі задамо час і побудуємо графік:
Графік відображає поведінку популяцій хижаків і жертв.
Тепер вирішимо ще кілька подібних систем диференціальних рівнянь, що мають різні початкові умови, тобто проробимо аналогічну роботу, після чого побудуємо фазові криві на тривимірній координатної площини, де осі відповідають x1 (t), x2 (t), y (t) - популяціям жертв і хижаків. У підсумку отримуємо сімейство фазових кривих:
Графік 6
На графіку 6 спостерігаємо циклічність. Пояснити графік 6 можна таким чином: при взаємодії двох популяцій жертв з населенням хижака і у відсутності якихось інших факторів, що впливають на чисельність тих і інших, одна з популяцій жертви завжди повністю витісняє іншу. Переможцем такого витісн...
