Федеральне агентство морського і річкового транспорту
Федеральне державне бюджетне освітня установа
вищої професійної освіти
Державний університет морського і річкового флоту імені адмірала С.О. Макарова
Кафедра прикладної математики
Курсова робота
Модель хижак-дві жертви
Виконала
студентка 3 курсу
групи ІП - 31 Папілова М.К.
Керівник:
к.т.н., доцент Шкадова А.Р.
Санкт-Петербург
г.
Зміст
Введення
. Теоретична частина
. Практична частина
Список використаної літератури
хижак жертва популяція динаміка
Введення
Вперше математична модель хижак-жертва була отримана А. лотків (1925 року), який використовував для опису динаміки взаємодіючих біологічних популяцій. Трохи пізніше і незалежно від Лотки аналогічні (і більш складні) моделі були розроблені італійським математиком В. Вольтерра (1926 г.), глибокі дослідження якого в області екологічних проблем заклали фундамент математичної теорії біологічних співтовариств або так званої математичної екології. Саме робота Вольтерри була виконана з метою пояснення циклічних змін, які спостерігаються в популяціях акул і промислових риб в Адріатичному морі. Надалі математична модель Вольтерри-Лотки дозволила пояснити циклічність чисельності популяцій, наприклад, зайців і рисей, спостережуваних заготівельниками хутра.
У даній роботі в якості методу дослідження використовується дослідження за допомогою математичного моделювання. Метою курсової роботи є виявлення залежності моделі хижак-жертва від коефіцієнта жертв.
1. Теоретична частина
Модель Томаса Мальтуса описує розмноження популяції зі швидкістю, пропорційної його чисельності:
,
де k - різниця між коефіцієнтами народжуваності і смертності.
Інтегруючи, отримуємо:
,
де P0 - чисельність популяції в момент часу t=0. Дане рівняння називається рівняння експоненціального зростання. Вважаючи k gt; 0, ми отримаємо природний приріст:
Графік 1
Вважаючи k lt; 0 - спад населення:
Графік 2
Але що буде, якщо для цієї моделі ввести залежність від будь-яких параметрів? Наприклад, якщо розглядати світ тварин, відомо, що одні тварини харчуються травою і всім, що росте на землі, тобто є травоїдними. Але ж є й такі тварини, які харчуються іншими тваринами. Тоді як будуть змінюватися популяції тих і інших? У цьому випадку модель варто розглядати як модель типу хижак-жертва .
Вперше математична модель хижак-жертва була отримана А. лотків (1925 року), який використовував її для опису динаміки взаємодіючих біологічних популяцій. Трохи пізніше аналогічні (і більш складні) моделі були розроблені італійським математиком В. Вольтерра (1926 г.), глибокі дослідження якого в області екологічних проблем заклали фундамент математичної теорії біологічних співтовариств або так званої математичної екології.
Позначимо за x кількість травоїдних тварин (жертви), а за y - кількість м'ясоїдних їхніх побратимів (хижаки). Зростання популяції жертв (наприклад, кроликів) буде відповідати моделі Мальтуса, тобто зростання буде експоненціальним у відсутності хижаків (наприклад, лис). Якщо ж таки не буде кроликів, то популяція лисиць буде нульовою, оскільки їм буде нічим харчуватися. У відповідності з цими висновками і позначеннями, можемо записати систему диференціальних рівнянь, що виражає популяції обох видів:
Дана система називається системою Вольтерра-Лотки. У ній: - швидкість росту чисельності травоїдних в відсутність хижаків; - швидкість скорочення чисельності м'ясоїдних в відсутність травоїдних; і q - швидкість, з якою зустрічі хижаків з жертвами видаляють травоїдних з популяції, і швидкість, з якою ці зустрічі дозволяють хижакам додавати чисельність своєї популяції.
Знак мінус в першому рівнянні показує, що зустрічі скорочують популяцію жертви, а знак плюс в другому говорить про те, що зустрічі збільшують популяцію хижака.
