Кут між векторами швидкостей двох молекул равновероятно приймає значення від 0 0 до 180 0, тому величина < 2 V 1 V 2 Cos> =0. Беручи швидкості однакових молекул рівними між собою, одержимо:
< V отн 2> =2 < V 2 кв> або < V отн> =< V а>, враховуючи пропорційність < V кв> і < V а>, отримаємо:
< V отн> =< V а>
Таке ж співвідношення між відносною і арифметичної швидкостями можна отримати виходячи з закону збереження імпульсів і закону складання швидкостей. Для цього використовується перехід з лабораторної системи координат в систему центра мас, тобто до руху однієї частинки з масою рівною наведеної.
У лабораторній системі, тобто щодо стінок посудини, сумарний імпульс молекул не дорівнює нулю. У системі центру мас (система - С) сумарний імпульс дорівнює нулю:
Р з=сп=n - c=0, тоді: V c=n / n
Для двох зіштовхуються частинок швидкість центру мас:
V c=(m 1 V 1 + m 2 V 2) / (m +1 + m 2)
правилом додавання швидкостей (перетворення Галілея) швидкість молекул становить:
У лабораторній системі: n=V cn + V c
В системі центру мас:
V cn=V n + V c, або c1=V 1 - V c=V 1 - (m 1 V 1 + m 2 V 2) / (m +1 + m 2)=m 2 (V 1 - V 2) / (m +1 + m 2) c2=V 2 - V c=m 1 (V 2 - V 1) / (m +1 + m 2)
Імпульс в системі центру мас:
cn=mn V cn, тоді: c1=m 1 m 2 (V 1 - V 2) / (m +1 - m 2)=M прив (V 1 - V 2) і c2= m 1 m 2 (V 2 - V 1) / (m +1 + m 2)=- M прив (V 1 - V 2).
Імпульси двох молекул в системі центру мас рівні за модулем і протилежні за напрямком, тобто сума імпульсів дорівнює нулю.
В системі центру мас приведена маса дорівнює: M пр=m 1 m 2 / {m 1 + m 2), це означає, що замість двох зіштовхуються молекул можна розглядати всього одну молекулу, але з наведеної масою .
У разі рівності мас двох молекул отримаємо: М пр=m / 2 і функція розподілу для відносної швидкості має вигляд:
f {V отр}=4? V 2 отн {m / 4? kT} 3/2 e - mV2/4k T і тоді середня відносна швидкість молекули буде:
=Отн f {V отн} dV отн == ,
де T - абсолютна температура, К
k - постійна Больцмана, k=1,38 * 10 - 23 Дж / К
R - газова постійна, R=8,31 Дж / моль * К
М - молярна маса, кг / моль
< l> =< V а> / N=< V а> / (? D 2 n )=1 /? d 2 n),
Де n - концентрація молекул, 1 / м 3,
Так як значення концентрації пропорційно тиску газу, то < l> тим менше, чим більше тиск. З іншого боку, із зростанням температури < l> трохи збільшується:
< l> =KT /? d 2 P), з урахуванням P=n k T.
Проведемо оцінку середньої довжини вільного пробігу молекул залишкового газу при температурі 300К для різних тисків. Нехай ефективний діаметр всіх молекул становить приблизно 3 ангстрема (3 * 10 - 10 м). Тоді за формулою:
< l> =KT / (d 2 P)=1,38 * 10 - 23300 / (1,...
