якщо електромагнітні хвилі, наприклад світло, іноді поводяться як частки (що показав Ейнштейн), то частки, наприклад електрон за певних обставин, можуть вести себе як хвилі. Таким образом у мікросвіті стерлася межа між класичними частинками і класичними хвилями. У формулюванні де Бройля частота, відповідна частці, пов'язана з її енергією, як у випадку фотона (частки світла), але запропоноване де Бройлем математичний вираз було еквівалентним співвідношенням між довжиною хвилі, масою частинки і її швидкістю (імпульсом). Існування електронних хвиль було експериментально доведено в 1927 р. Клінтоном Дж. Девіссон і Лестером Х. Джермером в Сполучених Штатах і Джорджем Паджет Томсоном в Англії. p> У свою чергу це відкриття призвело до створенню в 1933 р. Ернстом Руської електронного мікроскопа. Під враженням від коментарів Ейнштейна з приводу ідей де Бройля Ервін Шредінгер зробив спробу застосувати хвилеве опис електронів до побудови послідовної квантової теорії, не пов'язаної з неадекватною моделлю атома Бора. У відомому сенсі він мав намір зблизити квантову теорію з класичною фізикою, яка накопичила чимало прикладів математичного опису хвиль. Перша спроба, зроблена ним в 1925 р., закінчилася невдачею. Швидкості електронів в теорії Шредінгера були близькі до швидкості світла, що вимагало включення до неї спеціальної теорії відносності Ейнштейна та обліку пророкує нею значного збільшення маси електрона при дуже великих швидкостях.
Однією з причин спіткала Шредінгера невдачі було те, що він не врахував наявності специфічного властивості електрона, відомого нині під назвою спина (обертання електрона навколо власної осі на зразок дзиги, однак таке порівняння не зовсім коректно), про який в той час було мало відомо. Наступну спробу Шредінгер зробив в 1926 р. Швидкості електронів на цей раз були вибрані ним настільки малими, що необхідність у притягнення теорії відносності відпадала сама собою. Друга спроба увінчалася висновком хвильового рівняння Шредінгера, що дає математичне опис матерії в термінах хвильової функції. Шредінгер назвав свою теорію хвильової механікою. Рішення хвильового рівняння перебували у згоді з експериментальними спостереженнями і зробили глибокий вплив на подальший розвиток квантової теорії. В даний час хвильова функція лежить в основі квантовомеханічної опису мікросистем, подібно рівнянням Гамільтона в класичній механіці.
Незадовго до того Вернер Гейзенберг, Макс Борн і Паскуаль Йордан опублікували інший варіант квантової теорії, отримав назву матричної механіки, яка описувала квантові явища з допомогою таблиць спостережуваних величин. Ці таблиці являють собою певним чином впорядковані математичні множини, звані матрицями, над якими за відомими правилами можна проводити різні математичні операції. Матрична механіка також дозволяла досягти згоди з спостерігаються експериментальними даними, але на відміну від хвильової механіки не містила ніяких конкретних посилань на просторові координати або час....
