Зміст
Шредінгер хвильової спектр резонанс
1. Отримання рівняння Шредінгера
. Умови, що накладаються на хвильові функції, власні функції і власний значення
. Рух частинки в потенційній ямі
. 1 Скачек потенціалу. Відображення та проходження хвиль
. 2 Нескінченно високий потенційний бар'єр
. 3 Нескінченно глибока потенційна яма. Дискретний спектр
. 4 Кінцева потенційна яма. Резонанси
Література
1. Отримання рівняння Шредінгера
Рівняння Шредінгера, по суті, являє собою постулат нерелятивістської квантової механіки.
Підкреслимо, що ні про яке скільки-небудь строгому виведенні цього рівняння не може бути й мови, оскільки, взагалі кажучи, не можна побудувати будь-яку нову теорію, базуючись лише на старих уявленнях. Тим не менш, покажемо, яким чином можна прийти до рівняння Шредінгера, виробляючи розумне узагальнення хвильового рівняння, відомого, наприклад, в класичній електродинаміці на випадок дебройлевскіх хвиль [1]. З цією метою візьмемо хвильове рівняння в загальному вигляді
(1)
Тут функція описує хвильовий процес, що поширюється зі швидкістю u. Якщо хвиля є монохроматичній, то рішення рівняння (1) можна шукати
(2)
де?=2 ??- Кругова частота, а просторова частина хвильової функції підпорядковується рівнянню
(3)
В останньому рівнянні замість двох параметрів? і u ми можемо ввести тільки один, а саме довжину хвилі
(4)
Тоді
(5)
Для того щоб з цього хвильового рівняння, що має, взагалі кажучи, універсальний характер, отримати хвильове рівняння, що дозволяє описувати хвильовий рух електронів, підставимо сюди замість? вираз для дебройлевской довжини хвилі
(6)
Враховуючи далі закон збереження енергії
[5]
Знаходимо
(7)
Підставляючи цей вираз в рівняння (5), отримуємо стаціонарне (тобто не залежне від часу) рівняння Шредінгера [1]
(8)
Повна хвильова функція, що залежить як від просторових, так і від тимчасової координат, може бути знайдена за допомогою формули (2). Вважаючи, маємо:
(9)
Комплексно сполучена хвильова функція в цьому випадку дорівнює:
(9а)
2. Умови, що накладаються на хвильові функції, власні функції і власний значення
Згідно Борну, хвильової функції? (t) слід дати статистичну (імовірнісну) інтерпретацію. Зокрема, квадрат модуля (t)? (T)=грає роль функції розподілу і характеризує щільність ймовірності виявити частинку в момент часу t в об'ємі простору з координатами, що лежать між r і r + dr.
Якщо щільність ймовірності відмінна від нуля тільки в кінцевій частині простору, то можна з достовірністю вважати, що частинка локалізована десь в цій області [3], тобто ймовірність виявити там частинку повинна дорівнювати одиниці
(10)
Вираз (10) називається умовою нормування. Слід зауважити, що не завжди область відмінною від нуля щільності ймовірності буде обмеженою. У деяких випадках (найпростіший з них - вільний рух частки) величина не звертається в нуль у всьому просторі. У таких випадках інтеграл розходиться і умова нормування вимагає дещо інший формулювання (див. Нижче).
Перейдемо тепер до загальному аналізу рівняння Шредінгера. Рівняння Шредінгера (8) являє собою диференціальне рівняння другого порядку в приватних похідних. Його вирішення має нагадувати рішення деяких класичних задач математичної фізики, наприклад рівняння коливання струни і т.д.
На хвильову функцію?, як на рішення, що задовольняє рівнянню другого порядку типу Штурма-Ліувілля, повинні: бути накладені такі умови. Вона повинна бути безперервною і мати безперервну похідну; крім того, вона повинна бути однозначною і кінцевої у всьому просторі, а також задовольняти певним граничним умовам.
Ці вимоги призводять до того, що рішення хвильових рівнянь, що задовольняють перерахованим вище умовам, існують, взагалі кажучи, не за будь-яких, а тільки при деяких значенн...
