p>
Ротор і дивергенція векторів
Ротор вектора - це вектор, який в декартовій системі координат може бути записаний у вигляді визначника:
,
де,, - вектори величиною 1, спрямовані по осях x, y, z; Hx, Hy, Hz - проекції вектора на осі координат.
Дивергенція вектора - це скалярна величина, що обчислюється в декартовій системі координат за формулою
В
де,, - проекції вектора на відповідні осі.
Геометричний сенс рівнянь Максвелла в диференціальної формі наступний. Ротор вектора - це вісь, навколо якої закручуються замкнуті лінії відповідного поля. З першого рівняння Максвелла випливає, що такий віссю для магнітного поля є лінії щільності струму провідності або лінії напруженості електричного поля, якщо E змінюється з часом.
Віссю виникають замкнутих ліній електричного поля є силові лінії магнітного поля, при умови, що H залежить від часу. Це випливає з другого рівняння Максвелла. p> Дивергенція вектора - це крапка в просторі, звідки починаються незамкнуті силові лінії поля. Як видно з третього рівняння Максвелла, незамкнуті силові лінії напруженості електричного поля починаються в точках, де є електричні заряди. З четвертого рівняння Максвелла випливає, що незамкнутих ліній напруженості магнітного поля не існує.
Вирішуючи рівняння Максвелла в різних середовищах, можемо знайти 6 проекцій векторів і:,, ,,, . br/>
1.3 Радіохвилі в ідеальному діелектрику без набоїв
Ідеальний діелектрик - такий діелектрик, в якому немає струмів, тобто відповідно до (1.1), провідність g = 0. Якщо для спрощення рішення прийняти, що в діелектрику немає зарядів, тобто q = 0 (або ПЃ = 0), а електромагнітне поле міняється тільки уздовж однієї координати z, тоді, як
,,
то рішення рівнянь Максвелла призводить до хвильовим рівнянням для 2 - х проекцій векторів напруженості і, зсунутих в просторі на 90o; наприклад, для проекцій і - див. Додаток 3:
(1.2, а).
(1.2, б).
Рішенням рівнянь (1.2) є хвильові функції, і, , Де і - прямі хвилі, що поширюються уздовж осі z, а й - зворотні хвилі, що біжать в протилежному напрямку. В отриманих рішеннях застосовано позначення
(1.3)
Параметр v має розмірність м/с і є швидкістю поширення хвилі. Для вакууму, і v = c = 3 * 108 м/с. У будь-якому середовищі, де і, швидкість електромагнітної хвилі
(1.4)
У Додатку 3 записана зв'язок і:
(1.5)
Величина
В
має розмірність Ом і називається хвильовим опором середовища. У вакуумі
Ом.
Отже, в ідеальному діелектрику при зроблених припущеннях рішенням рівнянь Максвелла є електромагнітні хвилі, що рухаються вздовж осі z в прямому і зворотному напрямках зі швидкістю v. Пряма хвиля поширюється від джерела електромагнітних коливань, а зворотна виникає за наявності віддзеркалень.
1.4 Енергія електромагнітного поля
Якщо в просторі існує електромагнітне поле, то в довільному обсязі V мається енергія
,
де
В
щільність електричної енергії Дж/м3,
В
щільність магнітної енергії, Дж/м3.
Оскільки електромагнітне поле існує у вигляді хвиль, поле буде переміщатися в просторі. Зокрема, енергія буде виходити або входити в обсяг V. Для оцінки енергії електромагнітних хвиль введена фізична величина, яка називається вектором Пойнтінга і рівна векторному добутку векторів і:
, Вт/м2.
Величина вектора Пойнтінга
,
де О± - кут між векторами і. В ідеальному діелектрику П = EH. p> Вектор Пойнтінга перпендикулярний площині розташування векторів і і його напрямок визначається В«правилом гвинтаВ» при обертанні до по найкоротшій відстані (рис.1)
Розмірність величини вектора - Вт/м2. Тому П - це енергія електромагнітного поля, що проходить в одиницю часу через поверхню одиничної площі, тобто щільність потоку потужності.
Енергія електромагнітного поля, що виходить з об'єму V в одиницю часу, визначається формулою
,
де під інтегралом - скалярний добуток векторів і, а інтеграл береться по замкнутій поверхні S, обмежує обсяг V.
У разі, якщо діелектрик в обсязі V - неідеальний (), то виникають струми провідності щільністю і, в Відповідно до закону Джоуля - Ленца, частина енергії електромагнітного поля перетвориться у внутрішню (теплову) енергію діелектрика.
Закон збереження енергії визначається теоремою Пойнтінга:
-
де в лівій частині - швидкість убування енергії поля в об'ємі V, Pпот - кількість теплоти, що виділяється в 1 с в діелектрику за рахунок протікання струмів, тобто потужність втрат, причому
,
де скалярний твір - це щільність потужності втрат, тобто кількіс...
