з невизначеними ваговими коефіцієнтами, де ліворуч стоять всі доданки лівої частини, а праворуч - один доданок правої частини шуканого нерівності. Підбираємо невизначені коефіцієнти (шляхом вирішення відповідної системи рівностей) так, щоб після симетризації вагового нерівності знайти рішення задачі.
3.3 Збірник завдань
Вправа 1. Нерівність Йенсена:
1.Докажіте нерівність, (підказка:).
2.Докажіте нерівність, де.
3.Докажіте нерівність, при.
Вправа 2. Нерівність Коші-Буняковського:
1.Доказать, що, де a, b, c - сторони трикутника; h a , h b , h c - висоти трикутника, опущені на ці сторони; S - площа трикутника.
2.Доказать, що,.
3.Доказать, що, якщо.
Вправа 3. Нерівність Коші:
1.Для невід'ємних a, b, c виконується умова a 2 + b 2 + c 2 = 1. Довести, що. p> 2.Данило: a, b, c ≥ 0, a + b + c = 1. Довести нерівність: . p> 3.Доказать:.
4.Дані: x, y, z> 0, xyz = 1. Довести. p> Вправа 4. Нерівність Бернуллі:
1.Решіть рівняння:.
2.Решіть рівняння:.
3.Решіть рівняння:.
Вправа 5. Вагове (загальне) нерівність Коші:
1.Доказать нерівність, якщо.
2.Доказать нерівність:.
3.Доказать нерівність:.
3.4 Тести
1. Яка залежність між коефіцієнтами О± i у нерівності Йенсена
?
а) їх твір дорівнює одиниці
б) їх сума дорівнює одиниці
в) вони рівні між собою
г) ніякої
2. Як довести нерівність Коші-Буняковського? p> а) довести нерівність Йенсена для функції
б) застосувати нерівність Коші для n чисел
в) довести методом математичної індукції
г) шляхом алгебраїчних перетворень
3. Коли досягається рівність в нерівності Коші?
а) коли сума всіх чисел дорівнює їх кількості
б) коли їх твір дорівнює одиниці
в) коли всі числа рівні між собою
г) ніколи
4. У нерівності Бернуллі x - Змінна - може бути ...
а) будь-яким числом
б) суворо менше нуля
в) суворо більше нуля
г) строго більше мінус одиниці
5. У якому випадку вагове нерівність Коші перетворюється на класичне нерівність Коші?
а) коли всі змінні рівні між собою
б) коли всі вагові коефіцієнти рівні між собою
в) коли твір вагових коефіцієнтів дорівнює одиниці
г) коли сума вагових коефіцієнтів дорівнює одиниці
6. За допомогою якого нерівності краще доводити нерівність
?
а) за допомогою нерівності Коші
б) за допомогою нерівності Бернуллі
в) за допомогою нерівності Йенсена
г) за допомогою нерівності Коші-Буняковського
7. Яку треба застосувати функцію у нерівності Йенсена, щоб довести
?
а)
б)
в)
г)
8. Чому рівні вагові коефіцієнти у нерівності?
а)
б)
в)
г)
9. Яке нерівність доводиться за допомогою нерівності Коші-Буняковського?
а)
б)
в)
г).
4. Інструкції для користувача
Даний електронний підручник з математики призначений для вивчення теми В«Використання нерівностей при вирішенні олімпіадних завдань В».
Стартова сторінка є титульним листом, на якому знаходиться тема роботи та відомості про її автора. Друга сторінка - інструкція з користування самим додатком, внизу якої знаходиться посилання В«поїхали!!В». Натиснувши на неї, користувач потрапляє на головну сторінку підручника.
Вікно додатку складається з двох частин: ліва - навігація за підручником, права - основне вікно, в якому надається вся інформація.
Весь підручник розбитий на глави, що полегшує сприйняття інформації.
У В«інструкції з користування підручником В»(друга сторінка в додатку) описані всі правила, виконання яких необхідне для правильної роботи розробки.
ВИСНОВКИ
У результаті виконаної роботи був підібраний матеріал за темою В«Нерівності в олімпіадних завданнях В», а саме: теоретичні відомості з неравенствам Йенсена, Коші, Коші-Буняковського і Бернуллі, завдання, в рішеннях яких використовуються ці нерівності, а також складені тестові питання для перевірки рівня отриманих знань. Все це було зібрано та оформлено у вигляді електронного підручника, написаного мовою HTML. Підручник дозволяє самостійно вивчати цю тему, отримуючи знання на достатньому рівні.
СПИСОК Використаних джерел
1. Вигодський М.Я. Довідник з елементарної математики. - М.: Наука, 1972. - 416 с.: Іл. p> 2. Іжболдін О., Курляндчик Л. Нерівність Йенсена. - Науково-популярний фізико-математичний журнал "Квант",...
