b> n і для будь-яких невід'ємних x 1 , x 2 , ..., x n має місце нерівність
. (1)
Числа m 1 , m 2 , ..., m n називаються ваговими коефіцієнтами.
Нерівність (1) виконується і для невід'ємних вагових коефіцієнтів m 1 , m 2 , ..., m n , але в цьому випадку необхідно вимагати, щоб знаменник лівої частини (1) не перетворювався на нуль і вирази мали сенс (тобто не всі m 1 , m 2 , ..., m n дорівнюють нулю і числа x i і m i водночас не дорівнювали нулю).
Зрозуміло, що при m 1 = m 2 = ... = m n , вагове нерівність Коші перетворюється на звичайне нерівність Коші. p> Вираз, який стоїть у лівій частині (1), називається ваговим середнім арифметичним, а те, яке в правій - ваговим середнім геометричним.
Нерівність (1), для натуральних m 1 , m 2 , ..., m n , безпосередньо слід з звичайного нерівності Коші:
. (2)
Нерівність (1) з невід'ємними раціональними ваговими коефіцієнтами легко призвести до випадку, коли.
3.2 Рішення задач із застосуванням даних нерівностей
Нерівність Йенсена
Задача:
Нехай a 1 , ..., a n > 0,. Довести. br/>
Рішення:
Записуємо нерівність Йенсена для f (x) = x 2 , m i = n. Одержуємо:
,,,
що й потрібно було довести.
Нерівність Коші-Буняковського
Задача:
Нехай a + b + c = 1. Довести, що. p> Рішення:
З нерівності Коші-Буняковського маємо
.
А звідси маємо, що.
Нерівність Коші
Задача:
Нехай a, b, c - позитивні числа, сума яких дорівнює одиниці. Довести, що br/>
(1 + a) (1 + b) (1 + c) ≥ 8 (1-a) (1-b) (1-c).
Рішення:
Оскільки a + b + c = 1, то 1 + a = (1-b) + (1 - c). Використовуючи нерівність Коші між середнім арифметичним і середнім геометричним, отримуємо
.
Аналогічно
,
.
Перемножая всі три нерівності, отримуємо шукане нерівність.
Нерівність Бернуллі
Задача:
Вирішити рівняння
.
Рішення:
До кожного доданку лівій частині рівняння застосовуємо нерівність Бернуллі, тоді
,
причому рівність можливо лише при, тобто x = В± 1. Отже, x = В± 1 - корені рівняння. p> Вагове (загальне) нерівність Коші
Завдання 1:
Для дійсних позитивних чисел a, b довести нерівність.
Рішення:
За вагового нерівності Коші (), маємо
.
Для завершення докази залишилося врахувати очевидне нерівність . Рівність досягається при a = b. p> Завдання 2:
Для довільних a, b ≥ 0 довести нерівність
(1).
Рішення:
За вагового нерівності Коші маємо, що
.
Додаючи до зазначеного нерівності аналогічне
В
отримуємо
,
що й потрібно було довести. Рівність в (1) досягається при a = b. p> Зрозуміло, що вирішення цієї задачі складається з двох ключових ідей. Перша - це нерівність (2). Друга - перехід від нерівності (2) до нерівності (1). p> Що стосується нерівності (2), то поки ще не зрозуміло, як можна було В«вгадатиВ», що для вирішення завдання треба було використовувати нерівність Коші саме з такими ваговими коефіцієнтами m 1 = 7, m 2 = 4, m 3 = 1.
Покажемо, що ці коефіцієнти можна знайти (саме так вони і були знайдені) за допомогою стандартної процедури: В«методу невизначених коефіцієнтів В». Нерівність (2) будемо шукати з таких міркувань. Розглянемо вагове нерівність Коші
. (4)
Підберемо вагові коефіцієнти m 1 , m 2 , m 3 так, щоб в правій частини нерівності (4) отримати a 3 b. Для цього досить вирішити систему
(5)
Крім цього, якщо до (4) додати аналогічне нерівність (у вирішенні завдання це було нерівність (3))
, (6)
то отримаємо
. (7)
Отже, щоб нерівність (7) збіглося з нерівністю в завданню, до системи (5) треба додати ще два рівності
(8)
Вирішуючи систему (8), маємо m 1 = 7 m 3 , m 2 = 4 m 3 . При такому підборі m 1 , m 2 , m 3 нерівність (4) стає нерівністю (2), нерівність (6) - нерівністю (3), а нерівність (7) - нерівністю (1). p> Підводячи підсумки сказаного, ми бачимо, що для доказу нерівності типу (1) записуємо загальна вагова нерівність Коші...
