німізувати дохід фірми А . p> Позначимо через c дохід від продажу товару в одиницю часу. Тоді, якщо фірма А викидає свій товар у момент i , а фірма В - у момент j> i , то фірма А , не маючи конкурента протягом ji одиниць часу, отримає за цей час дохід c (ji) . У момент часу j на ринку з'являється товар фірми В , який має більш високу якість. Тому з моменту j фірма А втрачає ринок і надалі доходу не отримує. Якщо ж i> j , то фірма А , викинувши на ринок більш якісний товар, отримуватиме дохід протягом всього відрізка [i, n] . Так як число залишилися одиниць часу одно n-i +1 , то дохід фірми А буде дорівнює c (n-i +1) . У тому випадку, коли i = j , тобто на ринок одночасно надходять обидва товари, ці товари мають однаковий попит, і тому фірма А отримає дохід, що дорівнює. В результаті функцію виграшу гравця 1 можна представити в наступному вигляді:
В
Отримуємо матричну гру, яка визначається матрицею.
Задача 7
Автотранспортна компанія для перевезення вантажів своєму розпорядженні чотирма автомашинами наступної вантажопідйомності: машина 1 - 2 т, машина 2 і машина 3 - по 5 т, машина 4 - 8 т. Для кожної автомашини відома вартість її експлуатації за день: для машини 1 - 15 одиниць, для машини 2 - 20 одиниць, для машини 3 - 19 одиниць, для машини 4 - 30 одиниць. Необхідно протягом одного дня розвести вантажі чотирьом одержувачам. У книгарню потрібно доставити вантаж вагою в 1 т, в меблевий магазин - в 3 т, у фермерське господарство - в 5 т і на сталеливарний завод - у 8 т. Припустимо, що одна і та ж машина не може доставляти вантаж в книжковий або меблевий магазин і на ферму. Потрібно так призначити автомашини для доставки всіх вантажів, щоб сумарні витрати були мінімальними. p> Рішення
Задачу мінімізації сумарних витрат на перевезення вантажів можна записати як задачу математичного програмування:
В
Тут через x ij позначений факт поставки i -му споживачеві вантажу j -ої машиною, тобто br/>В
Всі одержувачі вантажів пронумеровані: 1 - книгарня, 2 - меблевий магазин, 3 - фермерське господарство, 4 - сталеливарний завод. Цільова функція являє собою сумарні витрати. Перші чотири обмеження пов'язані з необхідністю доставити одержувачам потрібну їм кількість вантажу, наступні - з неможливістю одночасного використання однієї машини на деяких маршрутах. br/>
Завдання 8
Нехай економіка представлена ​​двома галузями народного господарства, кожна з яких випускає свою продукцію і витрачає на відтворення працю, засоби праці і предмети праці. Валовий продукт кожної галузі за рік розподіляється відповідно на кінцевий продукт і виробниче споживання, причому в процесі виробництва даної галузі може застосовуватися продукція обох галузей. Відомо, що споживання однієї галуззю продукції інший пропорційно обсягу валового випуску першої з них. Кінцевий продукт обох галузей ділиться на валові капітальні вкладення і невиробниче споживання. Без урахування амортизаційних відрахувань, можна вважати, що валові капітальні вкладення з однієї галузі в іншу щороку пропорційні приросту валової продукції другий галузі. p> Визначити, як повинна функціонувати розглянута економічна система в часі. br clear=all>
Рішення
Зауважимо, що оскільки критерій оптимальності в задачі не заданий, то математична модель буде описовою. Позначимо через валову продукцію галузі i на рік t , через - її кінцевий продукт на рік t , а через - виробниче споживання галуззю i продукції галузі j на рік t (всі величини тут і далі виражені у вартісному еквіваленті). З умови задачі випливає
. br/>
Нехай - норма витрат продукції j -ої галузі на виробництво одиниці продукції i -ої галузі. Тоді
. br/>
Позначивши - валові капітальні вкладення галузі i в галузь j на рік t , - невиробниче споживання галузі i на рік t , отримаємо
. br/>
Пропорційність валових капітальних вкладень приросту валової продукції запишемо у вигляді
. br clear=all>
Остаточно, отримуємо двухпродуктовую модель економіки
. br/>
Задаючи в початковий момент і припускаючи відомими в часі споживання, i = 1,2 , бачимо, що завдання розвитку економіки, заданої двома галузями, зводиться до системи лінійних неоднорідних рівнянь.
