є витрати 3 год на переробку кожного з видів сировини. p> На підприємстві приймається рішення збільшити випуск продукції як за рахунок придбання нового обладнання тих типів, що і наявні, так і за рахунок понаднормових годин роботи. p> Максимальне число понаднормових годин, що припадають на період, дорівнює восьми, причому ці години повинні розподілятися на переробку першого і другого видів сировини рівномірно. Доплата за годину понаднормової роботи на переробці будь-якого з видів сировини однакова; повна оплата за годину понаднормової роботи дорівнює 2 одиницям. Підвищення витрат за період, пов'язаний з придбанням однієї машини, переробної сировину першого виду, становить 10 одиниць. Агрегати, що переробляють сировину другого виду, додатково не купуються. p> Необхідно максимізувати прибуток від випуску продукції. p>
Рішення Задачу максимізації доходу від випуску продукції можна записати як задачу математичного програмування:
В
Тут через і позначені відповідно шукані кількості вироблених продуктів першого і другого видів, через - кількість придбаних додаткових машин для переробки сировини першого виду і через - число годин понаднормової роботи. Цільова функція являє собою величину сумарного доходу. Перше обмеження пов'язане з неможливістю перевищити ліміт часу на переробку сировини першого виду, друге - з неможливістю перевищити ліміт часу на переробку сировини другого виду, третє обмеження і умова невід'ємності змінних самоочевидні. br/>
Задача 5
Для забезпечення нормальної роботи обладнання необхідно закупити n видів запасних частин на суму d рублів. Вартість j -ої деталі дорівнює, потреба в ній є випадкова величина, що має показовий закон розподілу з параметром. Використання j -ої деталі дозволяє отримати прибуток. Відсутність деталі у разі потреби призводить до збитків. Якщо деталь не використовується в даному періоді, то збиток становить. Як розподілити наявні кошти, щоб загальний прибуток була найбільшою? p> Рішення
Нехай - кількість закуплених деталей j -го виду. Так як потреба в цих деталях дорівнює, то доходи і витрати визначаються залежно від співвідношення між величинами і:
В
Значить, прибуток від деталей j -го виду можна визначити наступним чином:
В
Але так як - величина випадкова, то і прибуток - теж випадкова величина. Отже, ми повинні максимізувати не саму прибуток, а її математичне сподівання
.
Тут
-
щільність розподілу випадкової величини. Тоді
.
Загальна очікувана прибуток обчислюється як сума математичних очікувань прибутків від деталей всіх видів. Обмеження завдання пов'язані з неможливістю перевищити суму, виділену на закупівлю деталей. Крім того, з характеру змінних випливають умови їх невід'ємності і цілочисельності. У результаті отримуємо наступну математичну модель:
В
Задача 6
Фірма А виробляє деякий товар, який має попит протягом n одиниць часу. Цей товар надходить на ринок у момент i (i = 1, ..., n) . Для конкурентної боротьби з фірмою А дочірня фірма В концерну Д , не піклуючись про власні доходи, виробляє аналогічний товар, який надходить на ринок у момент j (j = 1, ..., n) . Її мета - розорення першої фірми, після чого їй буде легко, спираючись на капітал D , надолужити згаяне. Для цієї мети найпростіше продавати товари за зниженою ціною. Проте є закони (угоди), що забороняють вступати подібним чином. У цьому випадку єдиним законним інструментом цієї фірми є вибір моменту надходження товару на ринок. Будемо вважати, що якість конкуруючих товарів залежить від часу їх надходження на ринок відносно один одного - чим пізніше товар викидається на ринок, тим якість його вище, а реалізується тільки товар вищої якості. Кожна фірма повинна заздалегідь готувати своє виробництво до випуску і продажу товару в зазначений період часу. А щоб розорити першу фірму, друга фірма повинна мінімізувати її доходи
Рішення
У наявності зіткнення інтересів двох фірм - А і В . Найбільш підходящим математичним апаратом для моделювання їх поведінки є теорія ігор. p> Викладена в умові завдання ситуація конкуренції двох однакових фірм є антагоністичним конфліктом. Для побудови математичної моделі цього конфлікту - кінцевої антагоністичної гри - приймемо за гравців 1 і 2 відповідно фірми А і В . Очевидно, що множини чистих стратегій гравців 1 і 2 - це безлічі: фірма А вибирає i -ий момент надходження товару на ринок, намагаючись максимізувати свій дохід, а фірма В вибирає j -ий момент, переслідуючи прямо протилежні цілі - мі...
