кий обсяг ресурсів потрібно виділити кожному підприємству, щоб сумарний прибуток була найбільшою.
Уявімо процес розподілу ресурсів між господарюючими суб'єктами як n-кроковий процес управління (номер кроку збігається з умовним номером господарюючого суб'єкта). Нехай sk () - параметр стану, тобто кількість вільних коштів після k-го кроку для розподілу між рештою (n - k) господарюючими суб'єктами. Тоді рівняння станів можна записати в наступному вигляді:
(11)
Введемо в розгляд функцію - умовно оптимальна сукупний прибуток, отриманий від k-го, (k +1) - го, ..., n-го господарюючих суб'єктів, якщо між ними оптимальним чином розподілялися ресурси в обсязі sk - 1 (). Безліч можливих управлінських рішень щодо розміру розподіляються ресурсів на k-му кроці можна представити таким чином:.
Тоді рекурентні рівняння Р.Е. Беллмана (зворотна схема) матимуть вигляд:
(12)
Далі за отриманими результатами умовної оптимізації можна визначити оптимальний розподіл ресурсів за такою схемою:
Приклад. Є певна кількість ресурсів s0=100, яке необхідно розподілити між n=4 господарюючими суб'єктами на поточну діяльність протягом розглянутого періоду (місяць) з метою отримання сукупної максимального прибутку. Розміри вкладень ресурсів xi (;) в діяльність кожного господарюючого суб'єкта кратні величині h=20 і задані вектором Q. Відомо, що кожен господарюючий суб'єкт залежно від обсягу використовуваних засобів xi за розглянутий період приносить прибуток у розмірі fi (xi) () (Не залежить від вкладення ресурсів в інші господарюючі суб'єкти):
;
Необхідно визначити, який обсяг ресурсів потрібно виділити кожному підприємству, щоб сумарний прибуток була найбільшою.
Рішення. Складемо рекурентні рівняння Беллмана (зворотний схему):
(13)
Визначимо умовні максимуми відповідно до (13), результати розрахунків представлені в таблиці 1.
Таблиця 1. Розрахунок умовних оптимумів
sk - 1 xkskk=3k=2k=1 123456789101112000000000000200200 +20=20 22 20 0 +22=22 220 0 +22=22 220 200 22 +0=22 17 +0=1714 +0=14400400 +33=33 42 20 0 +42=42 420 0 +42=42 4202020 22 +20=42 17 +22= 3914 +22=3640021 +0=2120 +0=2026 +0=26600600 +46=46 55 200 +55=55 59 20 0 +59=59 5902040 22 +33=5517 +42=59 14 +42=56402021 +20=4120 +22=4226 +22=4860037 +0=3732 +0=3235 +0=35800800 +30= 30 68 200 +68=68 72 200 +72=72 73 202 060 22 +46=6817 +55=7214 +59=73 404 021 +33=5420 +42=6426 + 42=68602037 +20=5732 +22=5435 +22=5780067 +0=6761 +0=6152 +0=5210001000 +42=42 87 80 0 +87=87 870 0 +87=87 870208022 +30=5217 +68=8514 +72=86406021 +46=6720 +55=7526 +59=85604037 +33=7032 +42= 7435 +42=778020 67 +20=87 61 +22=8352 +22=74100058 +0=5872 +0=7261 +0=61 За результатами умовної оптимізації визначимо оптимальний розподіл ресурсів:
Таким чином, оптимальний розподіл ресурсів:
,
яке забезпечить найбільший прибуток у розмірі 87 ум. ден. од.
...
