иреному сенсі) з точністю , то наближає з тією ж точністю . Це випливає з того, що для унітарних операторів . Множачи вираження під нормою в (7.10) зліва на , а праворуч - на , отримаємо наслідок з нерівності (7.10): .
Визначення 7.5. Будемо називати базис повним, якщо будь-який унітарний оператор можна з будь-якою точністю представити у розширеному сенсі квантової схемою в базисі .
Теорема 7.2. (Див. [<# "22" src = "doc_zip1477.jpg"/>, де
В
є повним. (Такий базис будемо називати стандартним.) p> Доказ цієї теореми випливає з рішення задач 7.5-7.9.
Зауваження 7.2. Якщо прибрати з базису квантовий елемент Тоффолі, він перестає бути повним. Проте багато важливих обчислення можна робити і в такому усіченому базисі. Зокрема, як буде видно надалі, схеми, що виправляють помилки, можна реалізувати без елемента Тоффолі. p> Можна оцінити складність реалізації оператора в цьому базисі. Якщо, то можна реалізувати цей оператор з точністю квантової схемою в базисі розміру. Якщо матричні елементи задані у двійковій запису, то ця схема будується за за допомогою деякого алгоритму приблизно за той же час (множники і ступеня полінома можуть відрізнятися). Ідея побудови такого алгоритму легко вбачається із завдань 7.1 та 7.11. p> Завдання
Доведіть, що всі оператори на одному q-бите у поєднанні з оператором утворюють повний базис. Рішення має бути достатньо ефективним: повинен існувати алгоритм, який будує схему, що реалізує довільний оператор на q-бітах, за час. p> Доведіть властивості операторної норми (7.6-7.8).
Нехай оператори наближають у розширеному сенсі оператори з точністю,. Доведіть, що оператор наближає у розширеному сенсі оператор з точністю. p> Нехай оператор наближає у розширеному сенсі оператор з точністю. Доведіть, що існує оператор, точно представляє в розширеному сенсі, тобто виконується рівність
В
і такий, що.
Нехай унітарний оператор задовольняє умові. Побудуйте реалізовує схему розміру в базисі, що використовує оператор один раз. p> Нехай - некоммутірующіе елементи групи - повороти на кути, несумірні з. Доведіть, що група, породжена і, утворює всюди щільне підмножина в. p> Нехай - унітарна простір розмірності. Розглянемо підгрупу - стабілізатор одновимірного підпростору, породженого деяким одиничним вектором. Нехай - довільний унітарний оператор, що не зберігає підпростір. Доведіть, що безліч операторів породжує всю групу. p> (Зауважимо, що в умові цієї задачі і можна профакторізовать по підгрупі фазових зрушен...
