іб, яким доведена конформність відображення застосовний і до інших функцій, наприклад, до дрібно-лінійної або функції Жуковського. Тільки тут виходять інші вирази для кута повороту дотичній. Так, для дрібно-лінійної функції вийде, що дотичні до кривих, що проходить через точку повертаються на кут а в випадку функції Жуковського - на кут, рівний (в першому випадку, у другому-)
Розглянемо, у що перетвориться допомогою функції коло, що проходить через точку А в півкола всілякі промені і відзначимо на кожному з них точку перетину з колом. На цьому кресленні для визначеності зображені 7 променів; всі кути, взяті рівними між собою .Функція перетворює їх в промені, складові між собою вдвічі більші кути; кожен з кутів дорівнює 45 градусів.
Підрахуємо, куди перейдуть точки Відстань їх образів від точки будуть рівні квадратах відстаней Але з черт.7 видно (D-діаметр окружності), далі. Залишається зауважити, що
0,8535 ...
Отже,
Через точки проходить крива, що є спосіб окружності при перетворенні Щоб отримати про неї більш точне уявлення, можна було б брати більшу кількість променів. Крива ця називається кардіоїд (пер.сердцеобразная) .Легко зрозуміти, що фігура, заштрихована на черт.7 зліва (вона виходить з півплощини шляхом викидання кола), перетворюється за допомогою функції у фігуру, заштрихованную на тому ж кресленні праворуч. Остання обмежена кардіоїд і променем AM, складовим кут з позитивним напрямком дійсної осі. Луч AM спрямований по дотичній до кожної з двох дуг кардіоїди, що виходять з точки А.
Функція Жуковського.
Застосуємо функцію до перетворення фігури, обмеженої двома колами: однієї, що проходить через точки - 1 і +1, і інший, що стосується першого зсередини в точці 1; на черт.8 ця фігура заштрихована.
черт.8
Переконаємося спочатку, що перетворення можна звести до декільком виконуваним один за одним функціям більш простим перетворенням. Розглянемо відношення, замінюючи в ньому виразом, знайдемо:
Справедливо і зворотне:
Отже, співвідношення еквівалентні (одне випливає з іншого).
Тому перетворення Жуковського можна представити у вигляді. Результат повинен вийде той же самий. Перехід від можна здійснити в 3 етапи. Спочатку перейти від до допоміжного змінному за формулою
Сенс у заміні одного перетворення Жуковського трьома перетвореннями в тому, що кожне з них простіше.
Отже, застосуємо до фігури, зображений на черт.8 перетворення (1), до того, що вийде - перетворення (2), до того, що вийде після цього, додамо перетворення (3). ( чорт .9)
Черт.9
Міняючи кут нахилу дотичної до кола в точці 1 (черт.8) і радіус менший окружності, можна отримувати різні профілі. Такого роду профілі були запропоновані вперше російськими вченими С.А. Чаплигиним і Н.Е Жуковським, чому вони й називаються профілями Жуковського-Чаплигіна.
черт.10
Якщо кут - прямий, тобто велика окружність побудована на відрізку від - 1 до +1, як на діаметрі, то відповідний профіль симетричний щодо дійсної осі. Такий профіль називається іноді кермом Жуковського. (черт.10)
Профілі Жуковського-Чаплигіна є основними профілями у всіх дослідженнях з теорії крила літака.
конформний відображення площину функція
Список літератури
1.Конформное відображення (Сильвестров В.В. 1999), Математика
2.а.. Маркушевич «Популярні лекції з математики« Комплексні числа і конформні відображення », 1954
