ign="justify"> У Насправді, якщо z лежить на відрізку PQ, то вектори, що зображують za і zb, направлені в прямо протилежні сторони. Звідси випливає, що приватне є дійсне негативне число, тобто z лежить на негативній частині дійсної осі. Образи точки заповнюють весь промінь.
2)
Відомо, що кути з вершинами в деяких виняткових точках можуть змінюватися в кілька разів. У даному випадку мається така виняткова точка: це-початок координат А.Все кути з вершиною в точці А збільшуються вдвічі при перетворенні
Візьмемо промінь АМ, виходить з точки А і складового кут з позитивною частиною дійсної осі. (черт.6)
Черт.6
Для кожній точці z, що лежить на цьому промені,. Так як вектор виходить з вектора z шляхом розтягування в Раз і повороту на кут, то, а Тому точка z повинна лежати на промені А М, що виходить з точки A і складовим з позитивною частиною дійсної осі кут якщо точка z буде переміщатися по АМ, починаючи від точка А і далі, необмежено відсуваючи від неї, то відповідна точка z буде переміщатися по AM, починаючи від точки A і далі, необмежено відсуваючи від неї; при цьому відстань від z до A завжди буде дорівнювати квадрату відстані від z до А
Звідси випливає, що функція перетворює промінь АМ в промінь AM, нахилений до осі A x під кутом, удвічі більшим у порівнянні з початковим кутом нахилу.
Легко зрозуміти, що промінь АР, становить з Ax кут (АМ і АР лежать на одній прямій), перетворяться допомогою функції в той же промінь AM .В Насправді, якщо кут, подвоїти, то вийде промінь , нахилений до A x під цим кутом збігається з AM.
Подивимося, у що перетвориться допомогою функції фігура, заштрихована на черт.6 зліва; вона називається напівплощиною. Напівплощина можна розглядати як заповнену безліччю променів, що виходять з А і нахилених до Ax під кутами, великими, але меншими .лучі АМ і АР складають кордон півплощині (одну пряму). Функція перетворює промені, що належать півплощини, у всілякі промені, що виходять з A і нахилені до A x під кутами, великими, але меншими.
Звідси випливає, що напівплощина, обмежена променями АМ і АР, перетвориться у фігуру AM (черт.6 праворуч). Останню фігуру можна охарактеризувати як площину з викинутим або виключеним) лучем AM .Ця фігура утворена всіма точками площині, крім точок, що лежать на AM .якщо у півплощині взяти якісь -або два промені AQ і AR, нахилені до Ax під кутами і Вони складуть між собою .В результаті перетворення ці промені перейдуть у AQ і AR, нахилені до A x під кутами .Очевидно, що кут QAR дорівнює
Отже, кути з вершиною в точці А подвоюються при перетворенні, іншими словами, конформність відображення порушується в точці А.
Кути з вершиною в будь-якій точці не змінюються при перетворенні.
Нехай L - яка-небудь крива, що виходить з точки .Если на L взяти точку, відмінну від, то напрямок січної, що з'єднує ці точки, буде співпадати з напрямом вектора, що зображує різницю (рис. 7 зліва ) за допомогою функції крива L перетвориться в деяку криву L, а точки -в нові точки лежать на кривій L .Очевидно, що напрямок січної, що з'єднує збігається з напрямком вектора зображує різницю (рис .7 праворуч).
Чорт. 7
Порівняємо між собою напрямки двох січних; для цього достатньо порівняти між собою напрями векторів .Так як кут між ними, відлічуваний від вектора до вектора, збігається з аргументом приватного, то все порівняння зводиться до підрахунку .Приватна можна перетворити, замінивши їх виразами:
Отримаємо:
Отже, кут між напрямками січних до кривих L і L, проведених через пари відповідних точок (на L) і (на L), дорівнює. Переходячи від січних до дотичних, будемо необмежено наближати точку по кривій L до точки
Тоді й точка буде необмежено наближатися по кривій L до точку. Тому січні будуть необмежено наближатися до дотичним, проведеним в точках а кут між секущімі- до кута між дотичними. Але кут між січними дорівнює і при прагненні прагне до останній же збігається з Отже, кут між дотичними до кривих проведеним у відповідних точках і дорівнює .Если, наприклад, звідси випливає, що напрямок дотичної в точці до будь-якій кривій L, проведеної через цю точку, буде збігатися з напрямок дотичної в точці в кривій L, в яку функція перетворює L.Еслі отже, дотична в точці до будь-якій кривій L, проведеної через цю точку, і дотична в точці до образу кривої L взаємно перпендикулярні.
Повертаючись до загального випадку, можна сказати, що дотичні повертаються на кут, рівний коли криві, що проходять через точку перетворюються допомогою функції
Спос...
