длива наступна
Лемма. Безліч є абелевої полугруппой з нулем і володіє скороченнями. p> Доказ. Очевидно, що введена операція визначена на всій множині. Зауважимо, що
=
. операція асоціативна на. Отже, за визначенням - напівгрупа. br/>
Зауважимо також, що зазначена операція коммутативна. Дійсно:
.
Тоді є абелевої полугруппой.
Встановимо наявність у нульового елемента. Неважко помітити, що таким елементом є число нуль (), тому що
.
Одиничність нуля випливає з його єдиності в. p> Нехай тепер,. Тоді
,
,
.
Тоді отримуємо, що володіє правими скороченнями. Аналогічно показується, що володіє і лівими скороченнями, тобто володіє скороченнями.
Таким чином, - абелева півгрупа з нулем, що володіє скороченнями, ч.т.д.
Тепер знайдемо групу приватних, якщо вона існує. p> Розглянемо. Нехай, тобто . br/>
.
Можливі такі два випадки:
) p - непарне число. У цьому випадку. Тоді
- група приватних, в яку занурюється.
2) p - парне число. Тоді, де - один з p комплексних коренів
одиниці, і група приватних має вигляд:
.
Таким чином, справедливо наступне твердження:
Теорема. занурюється у групу приватних
,
2.2 Інваріантна міра в S p
Розглянемо напівгрупу і спробуємо ввести в ній інваріантну міру. Неважко переконається, що-алгебра борелевская множин на є звуженням-алгебри борелевская множин на, тобто br/>
.
Теорема. де, є-адитивної інваріантної
заходом, заданої в полугруппе.
Доказ. Нехай - міра Лебега - Стілтьєса, де. p> Вона визначена на, а значить, визначена і на. Очевидно, що строго зростає на. Крім того, вона неперервна, а значить, неперервна зліва на всій області визначення. Тоді за властивостями заходи-аддитивна. Залишилося перевірити її інваріантність. p> Доведемо, що дана міра инвариантна ліворуч, тобто . Зважаючи-аддитивности заходи досить показати, що це вірно для M = [a; b), де. Покажемо це. p>.
Зауважимо, що неперервна як композиція безперервних функцій, а значить
. Тоді =
В
.
Отже, дана міра инвариантна зліва. Аналогічно показується, що вона інваріантна праворуч, ч.т.д. br/>
2.3 Полухарактери і характери в S p
Теорема. Відображення є полухарактером, де, а таке, що. p> Доказ. 1) Нехай, безперервно як композиція неперервних відображень; крім того,. Також зауважимо, що
, тобто p>. Таким чином, - полухарактер. p>) Нехай тепер - деякий полухарактер. Тоді, тобто . Покладемо,, g неперервна як композиція безперервних функцій (? Неперервна за умовою). Тоді = і
. p> Вище було показано (п. 1.3), що в цьому випадку, де.
