p>
Отже,, ч.т.д.
Зауваження. Для характерів формулюється і доводиться аналогічна
теорема, з тією лише різницею, що на константу c накладається
умова | c | = 1.
3. Півгрупа S
.1 Визначення і деякі властивості
Розглянемо безліч:. Введемо на ньому алгебраїчну операцію таким чином:
.
Позначимо. Тоді справедливе твердження:
Лемма. Безліч є абелевої полугруппой без нульового елемента і володіє скороченнями. p> Доказ. Очевидно, що введена операція визначена на всій множині. Неважко бачити, що
=
==
В В
. p> операція асоціативна на. Тоді за визначенням - напівгрупа. p> Зауважимо, зазначена операція коммутативна. Дійсно:
В В
Значить, є абелевої полугруппой.
В не існує нульового елемента, тому що таким елементом може бути тільки пара (0,0).
Нехай тепер,. Тоді
,
В В В
Отримуємо, що володіє правими скороченнями. Аналогічно показується, що володіє і лівими скороченнями, тобто володіє скороченнями.
Отже, - абелева півгрупа з нулем, що володіє скороченнями, ч.т.д.
Зауваження. Поряд з полугруппой ми також можемо розглядати і
напівгрупу, для якої вірна аналогічна
лема.
3.2 Інваріантна міра в S
Спробуємо ввести в інваріантну міру. Неважко переконається,
що-алгебра борелевская множин на є звуженням-алгебри борелевская множин на, тобто br/>
.
В можна ввести міру Лебега (позначимо її). Тоді покладемо. Зауважимо, що, значить природно визначити:. визначається через міру Лебега, а стало бути є-адитивної заходом.
В існує топологія, індукована природної топологією. Вона є топологічної полугруппой, тому що відображення є безперервним.
Теорема. є інваріантної заходом, заданої в полугруппе.
Доказ. Доведемо, що дана міра инвариантна ліворуч, тобто . Зважаючи-аддитивности заходи досить показати, що це вірно для M = [a; b), де,. Покажемо це. br/>
.
Т.к. неперервна, то
. Тоді. br/>
Отже, дана міра инвариантна зліва. Аналогічно показується, що вона інваріантна праворуч, ч.т.д. br/>
3.3 Полухарактери і характери в S
Справедливо наступне твердження:
Теорема. Відображення є полухарактером, де, так, що й. p> Доказ. 1) Відображення безперервно як композиція неперервних відображень; крім того, і. Також вірно, що. Дійсно. . p> Таким чином, - полухарактер.
) Нехай тепер - деякий полухарактер. Тоді, тобто p>.
Зауважимо, що. Позначимо, тоді. Покладемо,, f неперервна як композиція безперервних функцій (? Неперервна за умовою). Тоді,
В
і ми прийдемо до рівності
,
.
Зауважимо, що. Тоді т., що, звідси випливає, що (f неперервна). Це вірно. Тоді, поклавши, о...
