n + 1) - y (xn))/h=(y n + 1 - yn)/h.
Підставляючи в крайові умови (8.2) - (8.3) отримаємо:
a 1y1 + a 2 (y2 - y1)/h=a 3,
b 1 y (b) + b 2 (y n + 1 - yn)/h=b 3.
Після перетворень крайові умови (6.13) запишемо у вигляді:
c1y1 + b1y2=d1, (6.18) + 1yn + c n + 1yn + 1=d n + 1, (6.19)
де c1=a 1 h - a 2; b1=a 2; d1=a 3 h; +1=- b 2; cn + 1=b 1 h + b 2; d n + 1=b 3 h.
Таким чином, для визначення (n + 1) невідомих величин yk складається (n + 1) рівнянь виду:
c1y1 + b1y2=d1, k=1 + ckyk + bkyk + 1=dk, k=2, n (6. 20)
an + 1yn + c n + 1yn + 1=d n + 1, k=n + 1.
Система (n + 1) рівнянь (8. 10) вирішується методом прогонки.
Приклад: Вирішити крайову задачу методом кінцевих різниць з кроком h=0,1:
y ??- Xy? + 2xy=0,8
y (1,2) - 0,5y? (1,2)=1
y? (1,5)=2.
Рішення. Рішення проводимо в наступній послідовності:
Визначення сітки:
| | | |=1,2 x2=1,3 x3=1,4 x4=1,5 x
, x4 - крайові точки, x2, x3 - внутрішні точки.
Визначення сіткової функції yi=y (xi):
x1x2x3x4у1у2у3у4
3. Апроксимація рівняння:
при x1=1,2: у1-0,5 (y2 - y1)/0,1=1 (6.21)
при x2=1,3: (у3-2у2 + у1)/0,01-1,3 (y3 - y1)/0,2 + 2 * 1,3y2=0,8 ( 6.22)
при x3=1,4: (у4-2у3 + у2)/0,01-1,4 (y4 - y2)/0,2 + 2 * 1,4y3=0,8 ( 6.23)
при x4=1,5: (y4 - y3)/0,1=2. (6.24)
Отримана система чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими в1, в2, у3 і у4 вирішується методом прогонки.
у1-5 (y2 - y1)=1
(у3-2у2 + у1) - 6,5 (y3 - y1) + 2 * 1,3y2=0,8
(у4-2у3 + у2) - 7 (y4 - y2) + 2 * 1,4y3=0,8
(y4 - y3)=2
у1 - 5y2=1
, 5у1 - 197,4у2 + 93,5у3=0,8
у2 - 197,2у3 + 93у4=0,8
- 10y3 + 10y4=2
Значення ai; bi; ci; di; i=1, 2, 3, 4 записуємо у вигляді таблиці 6.1.
Таблиця 6.1
iaibicidi106- 512106,5- 197,493,50,83107-197,2930,84-101002
Прямий хід прогонки. Визначаємо прогоночние коефіцієнти Ui і Vi (i=1,2,3,4)
U1=-c1/b1=5/6=0,833333=d1/b1=1/6=0,166667=-c2/(b2 + a2U1)=- 93,5/(- 197,4 + 106,5 * 0,833333)=0,860561=(d2-a2V1)/(b2 + a2U1)=
=(0,8-106,5 · 0,166667)/(- 197,4 + 106,5 · 0,833333)=0,156006=-c3/(b3 + a3U2) =- 93/(- 197,2 + 107 · 0,860561)=0,884703=(d3-a3V2)/(b3 + a3U2)=(0,8-107 · 0,156006)/(- 197,2 + 107 · 0,860561)=0,151186=-c4/(b4 + a4U3)=0=(d4-a4V3)/(b4 + a4U3)=(2 + 10 · 0,151186)/(10-10 · 0,884703)=3,045925
Зворотний хід прогонки. За формулами (2.7) обчислюємо всі xi; i=4,3,2,1).
Оскільки cn=0, то y4=V4=3,045925.
Далі обчислюємо y3, y2, y1
y3=U3 y4 + V3=0,884703 · 3,045925 + 0,151186=2,845925
y2=U2 y3 + V2=0,860561 · 2,845925 + 0,156006=2,605098
y1=U1 y2 + V1=0,833333 · 2,605098 + 0,166667=2,337581
сіткової функції yi=y (xi) записуємо у вигляді таблиці
xi1,21,31,41,5yi2,3375812,6050982,8459253,045925 інтеграл диференційний рівняння програмування
7. Задачі лінійного програмування
Загальна постановка задачі ЛП включає цільову функцію
f (x1, x2, x3, ..., xn)=c1x1 + c2x2 + ... + cnxn ® max (min) (7.1)
обмеження типу рівностей
gi=ai1x1 + ai2x2 + ... + ain xn + bi=0 i=1,2, ..., k (7.2)
і обмеження типу нерівностей
gi=ai1x1 + ai2x2 + ... + ain xn + bi? 0 i=k + 1, k + 2, ..., n (7.3)
В задачах ЛП в число обмежень дуже часто входить умова позитивності змінних:
xj? 0, i=1, ..., n (7.4)
Зазвичай воно пов'язане з тим, що xi в цих завданнях означає кількість об'єктів i-того типу (вироблених, що перевозяться, споживаних і т.п.).
7.1 Графічний метод розв'язання ...
