n вершинами без петель наступні умови еквівалентні:
G - д-рево;
G - з-язний граф, містить n-1 ребро;
G - а-ікліческій граф, містить n-1 ребро;
Будь-які дві неспівпадаючі вершини графа G з'єднує єдина ланцюг. p> G - а-ікліческій граф, такий, що якщо в нього додати одне ребро, то в ньому з'явиться рівно один цикл. p> Остов (каркас) зв'язкового графа - д-рево, що містить всі вершини графа. Визначається неоднозначно. Редукція графа - про-тов з найбільшим числом ребер. Цикломатичне (або циклічний ранг) число графа ОЅ = m-n + c, де n - ч-сло вершин, m - ч-сло ребер, c - ч-сло компонент зв'язності графа. Коцікліческій ранг (або коранг) ОЅ * = n-c. p> Теорема. Число ребер Неограф, які необхідно видалити для отримання остова, не залежить від послідовності їх видалення і одно цикломатическая числа графа. p> Неограф G є лісом тоді і тільки тоді, коли ОЅ (G) = 0. Неограф G має єдиний цикл тоді і тільки тоді, коли ОЅ (G) = 1. Остов Неограф має ОЅ * ребер. Ребра графа, що не входять до остов, називаються хордами. Цикл, що виходить при додаванні до остова графа його хорди, називається фундаментальним щодо цієї хорди.
Граф називається зв'язковим, якщо будь-які дві його неспівпадаючі вершини з'єднані маршрутом. Очевидно, що для зв'язності графа необхідно і достатньо, щоб у ньому для якої-небудь фіксованою вершини u і кожної іншої вершини v існував (u, v) - маршрут.
Теорема. Граф G = (V, E) зв'язний тоді і тільки тоді, коли безліч го вершин не можна розбити на два непорожніх підмножини V1 і V2 так, щоб бе граничні точки кожного ребра знаходилися в одному і тому ж множині. Всякий максимальний зв'язний підграф графа G називається зв'язковий компонентою (або компонентою) графа G. Слово "МаВ« мально "оВ» начает максимальний щодо включення, тобто НЕ міститься в зв'язковому підграфі з великим числом елементів. Безліч вершин зв'язковий компоненти називається областю зв'язності. Для орієнтованого графа вводиться поняття орієнтованого маршруту - це послідовність виду (1), в якої ei = (vi, vi +1). Аналогом ланцюга в цій ітуаціі служити шлях (Орієнтована ланцюг). Аналогом циклу служить контур орієнтований цикл). p> Орграф називається сільносвязний, якщо будь-які дві його вершини досяжні руг з одного. Орграф називається одностороннесвязним, якщо для будь-якої пари його вершин щонайменше одна досяжна з іншої. Орграф називається слабозв'язаних, якщо будь-які дві вершини його заснування з'єднані маршрутом. Орграф називається незв'язних, якщо його підставу незв'язних псевдографом.
Теорема. Орграф є сільносвязний тоді і тільки тоді, коли в ньому є основною циклічний маршрут. p> Необхідність. Нехай G - сільносвязний орграф і T = (v0, x1, v1, ..., xn, v0) - його циклічний маршрут, проходить через максимально можливе число вершин. Якщо цей маршрут ні є остовне, то візьмемо поза його вершину v. Так як G - сільносвязний орграф, то існують маршрути T1 = (v0, y1, ..., v), T2 = (v, z1, ..., v0). Але тоді циклічний маршрут T '= (v0, x1, v1, ..., xn, v0, y1, ..., v, z1, ..., v0) містить більше число вершин, ніж T, що суперечить вибору маршруту T. Отже, T - остовно маршрут. p> Достатність. Нехай u і v - дві довільні вершини орграфа G, а T = (v0, x, ..., v, y, ..., u, z, ..., v0) - циклічний маршрут. Тоді u досяжна з v за допомогою маршруту (v, y, ..., U) - частини маршруту T, - а v з u - за допомогою маршруту (u, z, ..., v0, x, ..., V) .3
Теорема. Орграф є одностороннесвязним тоді і тільки тоді, коли в ньому є остовно маршрут.
Теорема. Орграф є слабозв'язаних тоді і тільки тоді, коли в його основу є зв'язний псевдографом.
сільносвязний компонентою орграфа називається його максимальний щодо включення сільносвязний подграф.
Матричне подання графів
орграфов і матриці. Матрицею складнощів A (D) орграфа D називається (РХР)-матриця АІ > У якій ai} = , якщо vfl, - дуга орграфа D, і atj ~ Q в іншому випадку. Сума за стовпцем легко перевірити, що суми елементів по рядках матриці A (D) рівні полустепені результату вершин орграфа D, а суми елементів по стовпцях - полустепені заходу. Як і у випадку графів, ступеня матриці смежностей. А орграфа дають повну інформацію про число маршрутів, що йдуть з однієї вершини в іншу. Є ще три матриці, пов'язані з орграфом D - матриця досяжних, матриця відстаней і матриця обходів. Матрицю досяжними орграфа можна використовувати для знаходження його сильних компонент. Формула для числа остовних входять дерев даного орграфа була знайдена BOTTOM і Мейберрі, а доведена Татт. Щоб сформулювати цей результат, відомий як матрична теорема про дерева для орграфов, введемо ще матриці, пов'язані з D. Для кожного позначеного орграфа D алгебраїчне доповнення будь-якого елемента 1-го рядка матриці Mod дорівнює числу остовних входять дерев, у яких вершина vt є стоком. Для кожного позна...
