МОСКОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ шляхів сполучення
ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ ТА ФІНАНСІВ
Кафедра: «Математика»
Реферат
на тему:
«Теорема про ранг матриці»
Виконала: студентка групи ЕМН - 111 Попова К.С.
Керівник: професор Хаханян В.Х.
Москва
Матриця - це впорядкована таблиця, що містить рядків і стовпів, розмірність матриці - це твір. Матриці можуть бути як прямокутні, так і квадратні. Коли розглядається квадратна матриця, то можна говорити про порядок матриці - це число рядків або число стовпців.
Види матриць
Прямокутної матрицею розміру mxn називається сукупність mn чисел, розташованих у вигляді прямокутної таблиці, яка містить m рядків і n стовпців. Ми будемо записувати матрицю у вигляді
A=(4.1)
або скорочено у вигляді A=(aij) (i =; j =). Числа aij, складові цю матрицю, називаються її елементами; перший індекс вказує на номер рядка, другий - на номер стовпчика. Дві матриці A=(aij) і B=(bij) однакового розміру називаються рівними, якщо попарно рівні їх елементи, які стоять на однакових місцях, тобто A=B, якщо aij=bij.
Матриця, що складається з одного рядка чи одного шпальти, називається відповідно вектор-рядком або вектор-стовпцем. Вектор-стовпці і вектор-рядки називають просто векторами.
Матриця, що складається з одного числа, ототожнюється з цим числом. Матриця розміру mxn, всі елементи якої дорівнюють нулю, називаються нульової матрицею і позначається через 0. Елементи матриці з індексами називають елементами головної діагоналі. Якщо рядків матриці одно числу шпальт, є m=n, то матрицю називають квадратної порядку n. Квадратні матриці, які мають відмінні від нуля лише елементи головної діагоналі, називаються діагональними матрицями і записуються так:
.
Якщо всі елементи aii діагональної матриці рівні 1, то матриця називається одиничною і позначається буквою Е:
=.
Квадратна матриця називається трикутною, коли всі елементи, які стоять вище (або нижче) головної діагоналі, дорівнюють нулю.
Транспонированием називається таке перетворення матриці, у якому рядки і стовпчики змінюються місцями з збереженням їх номерів. Позначається транспонирование значком Т нагорі.
Нехай дана матриця (4.1). Переставимо рядки зі стовпцями. Отримаємо матрицю
AT =,
яка буде транспонованої стосовно матриці А. Зокрема, при транспонировании вектора-стовпця виходить вектор-рядок і навпаки.
Твором матриці А на число? називається матриця, елементи якої виходять з відповідних елементів матриці А множенням на число.
Сумою двох матриць А=(aij) і B=(bij) одного розміру називається матриця C=(cij) того ж розміру, елементи якої визначаються за формулою cij=aij + bij.
Твір АВ матриці на матрицю В визначається в припущенні, що число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В.
Твором двох матриць А=(aij) і B=(bjk), де i =, j =, k =, заданих в певному порядку АВ, називається матриця С=(cik).
Інакше кажучи, елементи матриці-твори визначаються так: елемент i-го рядка і k-го шпальти матриці З дорівнює сумі добутків елементів i-го рядки матриці на відповідні елементи k-го стовпця матриці В.
Визначники
Перестановкою чисел 1, 2, ..., n називається будь-яке розташування цих чисел у певному порядку. В елементарній алгебрі доводиться, що кількість всіх перестановок, які можна утворити з n чисел, одно 12 ... n=n !. Наприклад, з трьох чисел 1, 2, 3 можна утворити 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Кажуть, що за даної перестановці числа i і j становлять інверсію (безладдя), якщо i gt; j, але i варто в цій перестановці раніше j, тобто якщо більше стоїть лівіше меншого.
Перестановка називається четной (чи нечетной), тоді ній відповідно четно (непарній) загальне число інверсій. Операція, з якої від однієї перестановки переходять в іншу, складеної з тих же n чисел, називається підстановкою n-ой ступеня.
Подстановка, яка переводить одну перестановку в іншої, записується двома рядками у загальних дужках, причому числа, що займають однакові місця в ан...
