бутку маси точки на квадрат її відстані до даної точки - полюси. Полярний момент інерції пластинки відносно початку координат буде дорівнює
В
4. Обчислення площ і обсягів за допомогою подвійних інтегралів. <В
а) Обсяг.
В
Як ми знаємо, об'єм V тіла, обмеженого поверхнею, де - неотрицательная функція, площиною і циліндричною поверхнею, направляє для якої служить межа області D, а утворюють паралельні осі Oz, дорівнює подвійному інтегралу від функції по області D:
Приклад 1. Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями x = 0, у = 0, х + у + z = 1, z = 0 (рис. 17). p>
Рис.17 Рис.18
Рішення. D - заштрихована на рис. 17 трикутна область в площині Оху, обмежена прямими x = 0, у = 0, x + y = 1. Розставляючи межі у подвійному інтегралі, обчислимо об'єм:
Отже, куб. одиниць.
Зауваження 1
. Якщо тіло, об'єм якого шукається, обмежено зверху поверхнею а знизу-поверхнею, причому проекцією обох поверхонь на площину Оху є область D, то обсяг V цього тіла дорівнює різниці обсягів двох "циліндричних" тіл; перше з цих циліндричних тіл має нижнім підставою область D , а верхнім - поверхня друге тіло має нижнім підставою також область D, а верхнім - поверхня (рис.18).
Тому обсяг V дорівнює різниці двох подвійних інтегралів:
або
(1)
Легко, далі, довести, що формула (1) вірна не тільки в тому випадку, коли і невід'ємні, але і тоді, коли і - будь-які безперервні функції, що задовольняють співвідношенню
Зауваження 2
. Якщо в області D функція змінює знак, то розбиваємо область на дві частини: 1) область D1 де 2) область D2, де. Припустимо, що області D1 і D2 такі, що подвійні інтеграли по цих областях існують. Тоді інтеграл по області D1 буде позитивний і буде дорівнює обсягу тіла, що лежить вище площині Оху. Інтеграл по D2 буде негативний і за абсолютною величиною дорівнює обсягу тіла, що лежить нижче площини Оху, Отже, інтеграл по D буде виражати різниця відповідних обсягів.
б) Обчислення площі плоскої області.
Якщо ми складемо інтегральну суму для функції по області D, то ця сума буде дорівнює площі S,
при будь-якому способі розбиття. Переходячи до межі в правій частині рівності, отримаємо
Якщо область D правильна, то площа виразиться дворазовим інтегралом
5. Обчислення площі поверхні. p> Нехай потрібно обчислити площу поверхні, обмеженої лінією Г (рис.20); поверхня задана рівнянням де функція неперервна і має безперервні приватні похідні. Позначимо проекцію лінії Г на площину Oxy через L. Область на площині Oxy, обмежену лінією L, позначимо D.
Розіб'ємо довільним чином область D на n елементарних майданчиків У кожному майданчику візьмемо точку Точці Pi буде відповідати на поверхні точка Через точку Mi проведемо дотичну площину до поверхні. Рівняння її прийме вигляд
(1)
На цій ...
