іпсу
Отже, завдання полягає у знаходженні обсягу циліндричного тіла, яке має своєю підставою внутрішність зазначеного еліпса і обмеженого параболоїдом
У силу симетрії тіла відносно площин Oxz і Oyz можна обчислити об'єм четвертої його частини, укладеної в першому координатному вугіллі. Цей обсяг дорівнює подвійному інтегралу, поширеній по області, заданої умовами тобто по чверті еліпса. Інтегруючи спочатку по у, потім по х, одержимо
Підстановка дає
звідки
В
3.Пріложенія подвійних інтегралів до задач
механіки.
а) Маса плоскої пластинки змінної щільності. p> Розглянемо тонку пластинку, розташовану на площині Оху і займає область D. Товщину цієї платівки вважаємо настільки малою, що зміною щільності по товщині її можна знехтувати. b>
Поверхневою щільністю такий пластинки в даній точці називається границя відношення маси площадки до її площі за умови, що майданчик стягується до даної точки.
Визначена таким чином поверхнева щільність буде залежати тільки від положення даної точки, тобто бути функцією її координат:
В
Якби щільність була постійною (), то маса всієї платівки дорівнювала б, де S - площа пластинки. Знайдемо тепер масу неоднорідної пластинки, вважаючи, що її щільність є заданою функцією. Для цього розіб'ємо область, займану платівкою, на часткові області з площами (рис. 16). Вибираючи в кожної часткової області довільну точку, будемо вважати, що щільність у всіх точках часткової області постійна і дорівнює щільності в обраній точці. Складемо наближений вираз для маси пластинки у вигляді інтегральної суми
(*)
Для точного вираження маси слід знайти межу суми (*) за умови і кожна часткова область стягується до точки. Тоді
б) Статичні моменти і центр ваги пластинки. p> Перейдемо тепер до обчислення статичних моментів аналізованої платівки щодо осей координат. Для цього зосередимо в точках маси відповідних часткових областей і знайдемо статичні моменти отриманої системи матеріальних точок:
Переходячи до межі при звичайних умовах і замінюючи інтегральні суми інтегралами, отримаємо
Знаходимо координати центру ваги: ​​
Якщо платівка однорідна, тобто то формули спрощуються:
де S - площа пластинки.
В
в) Моменти інерції пластинки.
Моментом інерції матеріальної точки Р з масою m відносно якої-небудь осі називається добуток маси на квадрат відстані точки Р від цієї осі.
Метод складання виразів для моментів інерції пластинки відносно осей координат абсолютно такий же, який ми застосовували для обчислення статичних моментів. Наведемо тому тільки остаточні результати, вважаючи, що:
Відзначимо ще, що інтеграл називається відцентровим моментом інерції; він позначається.
У механіці часто розглядають полярний момент інерції точки, що дорівнює до...
