іюємо отриманий вираз по, одержимо:
. br/>
Дорівнявши його до нуля, знаходимо;
Отримали
В
Таким чином, отримали точку, значення функції в якій одно, що збігається зі стаціонарною крапкою.
В
Рис 4. Графічне пояснення методу сполучених напрямків Пауелла
3. Знаходження безумовного екстремуму градієнтними методами
У відмінності від методів прямого пошуку градієнтні методи пошуку використовують інформацію про похідні функції. Це дозволяє зменшити
кількість необхідних обчислень значень функції. Ці методи поділяються на дві групи: методи, які використовують інформацію тільки про перші похідних, і методи, що враховують інформацію і перших, і других похідних. br/>
3.1 Метод Коші
Опис алгоритму:
У методі Коші або методі найшвидшого спуску в якості напрямку пошуку вибирається напрямок антіградіента.
В
- градієнт функції
Алгоритм методу виглядає наступним чином:
,
де - градієнт.
Значення на кожній ітерації обчислюється шляхом вирішення задачі одновимірного пошуку екстремуму вздовж напрямку градієнта. Якщо в якості взяти деяке позитивне число, то вийде найпростіший градієнтний алгоритм:
В
Одне з головних достоїнств методу Коші є його стійкість, так як завжди виконується умова:
В
Однак поблизу екстремуму швидкість збіжності алгоритму стає неприпустимо низькою, оскільки поблизу екстремуму значення градієнта прагне до нуля.
Алгоритм методу:
Крок 1. Задати: 1. Початкову точку х (0);
. Умова закінчення пошуку. Перейти до кроку 2. p align="justify"> Крок 2. Обчислити напрям пошуку у вигляді антіградіента функції
s (x (k)) = - ? f (x (k));
. br/>
Перейти до кроку 3.
Крок 3. Знайти нове наближення
,
де - величина кроку щодо поточного наближення. Перейти до шагу4. p> Крок 4. Перевірка умови закінчення пошуку. p> Так: закінчити пошук;
Немає: перейти до кроку 2.
Хід вирішення:
Вихідні дані:
В
Крок 1.
- початкова точка (початкове наближення);
Обчислимо компоненти градієнта:
Крок 2.
В В
Крок 3. Початкове наближення
. Нове наближення визначимо за формулою:
В
Крок 2.
В
Вибираємо таке, щоб мінімізувати функцію
Крок 3.
В В В В
. Далі знайдемо крапку:
В
Крок 2.
В
Крок 3.
В В В В
. Далі знайдемо крапку:
В
