вигляд суми по різним коливанням (Різним станам фононів) певної величини, яка залежить тільки від енергії фонона:
В
Такі суми зустрічаються досить часто. Так як f залежить тільки від енергії фонона, то від суми по станах можна перейти до інтеграла по енергії:
(54). p> Тут - щільність станів фононів. Нагадаємо, що - це число станів квазічастинок (фононів) в одиниці об'єму з енергіями від до, тобто число різних коливань з такими енергіями. p> Сумарна щільність станів складається з щільності станів різних гілок:; щільність станів гілки визначається її законом дисперсії. Аналітично отримати закони дисперсії і щільності станів фононів реальних кристалів практично неможливо. p> Однак при низьких температурах енергія і теплоємність визначаються довгохвильовими акустичними фононами. Щільність станів акустичних фононів нам відома, ми отримали її як приклад, коли вводили саме поняття щільності станів. Якщо для j -й акустичної гілки П‰ = j | k |, то:
(55). br/>
Щільність станів довгохвильових коливань всіх акустичних гілок виходить підсумовуванням за трьома акустичним гілкам:
(56), де - '' Усереднена'' швидкість звуку:
(57). br/>
Лінійний закон дисперсії П‰ = | k | і відповідна щільність станів вірні тільки для малих k . При великих значеннях хвильового вектора закон дисперсії і щільність станів мають більш складний вид. p> Однак при низьких температурах внесок в енергію і теплоємність вносять як раз тільки довгохвильові фонони, а при високих температурах вид щільності станів не важливий, так як в цьому випадку на кожне коливання доводиться енергія kT . Щоб отримати вираз, яке давало б правильні граничні залежності при низьких і високих температурах, Дебай запропонував вважати, що закон дисперсії П‰ = | k | виконується і при великих k . Максимальне значення хвильового вектора k D при цьому вибирається так, щоб в кулі радіуса k D містилося стільки дозволених значень хвильових векторів, скільки їх міститься в зоні Бріллюена, N = 1/ v 0 . Іншими словами, обсяг цієї кулі повинен бути дорівнює обсягу зони Бріллюена (2 ПЂ ) 3 / v 0 , звідки
(58). br/>
Таким чином, зберігаючи число акустичних коливань, ми замінюємо першу зону Бріллюена сферою, а реальний закон дисперсії - лінійним. Фонон із хвильовим вектором k D має енергію. Відповідна температура:
(59), називається температурою Дебая. br/>
У такому наближенні ми можемо обчислити внесок акустичних гілок в енергію і теплоємність решітки:
В
При низьких температурах, T << Оё , верхня межа інтеграла багато більше одиниці. Завдяки експоненті в знаменнику інтеграл сходиться дуже швидко, що дозволяє покласти верхній межа рівним нескінченності. Значення такого інтеграла відомо: (61). p> Для енергії акустичних коливань при низьких температурах отримуємо:
(62)
Звідки випливає, що теплоємність решітки при низьких температурах пропорційна T 3 :
(63).
При високих температурах, T >> Оё , верхня межа інтегрування малий, тому можна вважати, що exp ( x ) -1 ≈ x , таким чином:
(64). br/>
Тоді: E = 3 NkT і C V = 3 Nk .
Це закон Дюлонга і Пті, тільки замість повного числа коливань 3 lN стоїть число коливань акустичних гілок 3 N . (При високих температурах на кожне коливання доводиться середня енергія kT , повне число акустичних коливань дорівнює 3 N , тому внесок акустичних гілок в енергію дорівнює 3 NkT ). p> У межі низьких і високих температур модель Дебая дає точні значення для вкладу акустичних гілок в енергію і теплоємність. У області ж проміжних температур, T ~ Оё , ця модель лише апроксимує реальну залежність енергії та теплоємності від температури. p> Температура Дебая поділяє дві температурні області. У області низьких температур на енергію і теплоємність решітки сильний вплив надають квантові ефекти ('' вимерзання'' високочастотних коливань). У області високих температур ці ефекти не істотні, і теплоємність може бути обчислена в класичному наближенні. Для більшості кристалів температура Дебая лежить в інтервалі від 100 до 300 K . p> Щоб отримати повну енергію і теплоємність кристалічної решітки, треба до вкладу акустичних коливань додати внесок оптичних гілок, для якого хорошим наближенням є модель Ейнштейна. Цей внесок пренебрежимо малий при низьких температурах. При високих температурах вклади всіх гілок в енергію і теплоємність рівні....
