мод) дорівнює числу ступенів свободи системи. <В
Глава 4. Енергія коливань і теплоємність кристалічної решітки
В
Енергію коливань і теплоємність решітки будемо розраховувати для одиничного обсягу кристала, тобто покладемо нормувальний обсяг рівним одиниці: V = L 3 = 1. p> Щоб обчислити середню енергію коливань кристалічної решітки, потрібно підсумувати середню енергію всіх типів коливань (всіх станів фононів):
(43). br/>
Найпростіше це зробити при високих температурах, коли для частот всіх коливань виконується нерівність Д§ П‰ jk << kT (Класичний межа). Тоді середня енергія, що припадає на кожне коливання, дорівнює k B T , всього коливань 3 lN = 3 lN , для повної енергії E отримуємо:
(44). br/>
Так як N - число примітивних осередків кристала в одиниці об'єму, то N = 1/ v 0 , де v 0 - Обсяг примітивної комірки. p> Теплоємність решітки при високих температурах постійна (Закон Дюлонга і Пті): C V = 3 lNk (45). p> При невисоких температурах все складніше. Щоб точно обчислити енергію решітки, тобто порахувати суму (45), необхідно знати дисперсійні залежності для всіх гілок коливань. І навіть за умови, що залежності ці відомі, аналітичний вираз для енергії отримати практично неможливо. p> Тому для знаходження енергії та теплоємності решітки застосовують різні наближення. br/>
4.1. Модель Ейнштейна
В
У моделі Ейнштейна передбачається, що частоти всіх фононів однакові: П‰ jk = П‰ 1 (46). p> Тоді для енергії отримуємо:
(47). br/>
При високих температурах, k B T >> Д§ П‰ 1 , ця залежність призводить до вираження (45) для енергії і закону Дюлонга і Пті (46) для теплоємності. p> При низьких температурах, kT <<Д§ П‰ 1 , енергія коливань і теплоємність експоненціально зменшуються:
В
Модель Ейнштейна добре описує внесок в енергію і теплоємність оптичних гілок фононів, у яких частота слабо залежить від хвильового вектора і її можна вважати постійною. Щоб врахувати тільки оптичні гілки, частоту яких ми вважаємо рівної П‰ 1 , потрібно замість 3 l писати число цих гілок. У загальному випадку, частоти різних оптичних гілок можуть сильно відрізнятися один від одного і їх внесок в енергію і теплоємність потрібно враховувати окремо. br/>
4.2. Модель Дебая
В
Досвід показує, що теплоємність дійсно падає з зменшенням температури, але не експоненціально, а пропорційно T 3 . Справа в тому, що при будь-яких, як завгодно низьких температурах в кристалі знайдуться коливання, енергія фонона яких менше k B T . Це - довгохвильові акустичні коливання. Саме такі коливання, точніше ті з них, частота яких менше k B T /Д§, вносять основний вклад в енергію при низьких температурах. Коливання з великими частотами (оптичні та більш короткохвильові акустичні)'' заморожені'': фононів цих коливань експоненціально мало. p> Зробимо просту оцінку. Вклад в енергію вносять фонони, енергія яких менше kT . Нехай швидкість звуку j -й акустичної гілки дорівнює j і не залежить від напрямку хвильового вектора: П‰ = j | k |. Тоді внесок в енергію дають коливання з хвильовими векторами, меншими k max = k B T / (Д§ j ). Щільність дозволених значень хвильових векторів в k -просторі кристала дорівнює V /(2 ПЂ ) 3 , тому всередині сфери радіуса k max міститься дозволених значень хвильових векторів. Це число коливань одній акустичній гілки, що вносять істотний внесок в енергію. На кожне таке коливання доводиться енергія порядку kT . Для енергії коливань одній акустичній гілки отримуємо:
(50). br/>
Так як ми обчислюємо енергію і теплоємність одиниці обсягу кристала, то в (50) ми поклали V = 1. p> Таким чином, внесок однієї акустичної гілки в теплоємність пропорційний T 3 :
(51). br/>
Щоб отримати повну енергію і теплоємність, треба скласти вклади від трьох акустичних гілок:
(52),
де через j позначена швидкості звуку j -й акустичної гілки. p> Ми зробили достатньо грубу оцінку, тому до чисельних коефіцієнтам в останніх двох виразах не варто ставитися серйозно. Тим не Проте, ця оцінка дає правильну залежність енергії та теплоємності від температури і швидкості звуку. p> Порахуємо тепер енергію решітки при низьких температурах більш акуратно. p> Формула (44) має...
