тивності в обміні можна записати як
В
де MRS A XY - Гранична норма заміни блага Y благом X для Андрія; MRS B XY - гранична норма заміни блага Y благом X для Бориса. Будь-який розподіл цих благ між Андрієм і Борисом, при якому не виконується ця рівність, є парето-неефективним (тобто їх добробут може бути покращено).
Покажемо справедливість цього твердження. Нехай благо X, наявне у кількості 50 од., І благо Y, наявне у кількості 100 од., розподілені між Андрієм і Борисом порівну. При цьому граничні норми заміни не рівні: у Андрія MRS A XY = 2 (він готовий віддати 2 од. X за одиницю Y), а у Бориса MRS B XY = 1. Легко помітити, що індивіди можуть поліпшити свій добробут шляхом обміну. Якщо взяти 1 од. X у Бориса і передати її Андрію, забравши у нього 2 од. Y, то добробут Андрія не зміниться. Якщо з отриманих 2 од. Y віддати Борису, то його добробут теж залишиться таким же, як і до обміну. Таким чином, новий розподіл (Андрій має 26 од. X і 48 од. Y, а Борис - 24 од. X і 51 од. Y) приносить таку ж кількість корисності індивідам, що і раніше, але 1 од. блага Y залишається вільною. Якщо віддати її Андрію або Борису, то відбудеться парето-поліпшення і рівень їхнього добробуту збільшиться. Отже, первинний розподіл було неефективним. p> Звідси випливає, що при будь-якому розміщенні з різними нормами заміни добробут може бути збільшено шляхом перерозподілу благ (обміну) між індивідами.
Наведемо більш суворе доказ умови ефективності в обміні
В
Завдання полягає в тому, щоб максимізувати корисність одного індивіда, скажімо А, в той час як корисність іншого, B,, приймається фіксованою на постійному рівні, скажімо Гњ B .
Індивідуальні функції корисності задані як
U A = U A (X, Y),
U B = U B (X, Y),
де X і Y, як і раніше, блага в економіці обміну, що складається з двох індивідів і двох благ. Сформуємо функцію Лагранжа:
В
Диференціюючи L по Х і Y і прирівнюючи отримані вирази до нуля, маємо
В В
Після низки перетворень і згадавши теорію споживання, отримуємо
В
де MU - гранична корисність. У підсумку невеликих перестановок приходимо до наступного результату:
В
У розглянутій нами економіці обміну може мати місце безліч різних парето-ефективних розміщень. Для двох суб'єктів і двох благ це можна наочно продемонструвати за допомогою так званої коробки Еджуорта (рис. 2). Горизонтальна сторона цієї коробки показує загальну кількість блага X, а вертикальна - загальна кількість блага Y. Точка О А є початком координат для Андрія, а точка О B - для Бориса. Будь-яка точка всередині коробки характеризує розміщення благ Х і Y між індивідами. Наприклад, в точці G Андрій має кіль...
