7 + a10 + ....
S3=a4 + a5 + a6 + a7 + a12 + ....
S4=a8 + a9 + a10 + a11 + a12 + ....
Перевірочна матриця коду повинна мати n стовпців і p рядків. Кожен стовпець повинен становити двійкову комбінацію, яка вказує номер відповідної позиції коду.
Наприклад, для коду довжиною n=9, забезпечує виправлення однократних помилок, кількість надлишкових символів p=4. При цьому в якості перевірочної може бути обрана наступна матриця:
H=0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 1 1 0 0
0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1
Уявімо як приклад просту двійкову комбінацію 10011 кодом Хеммінга. Так як містити інформацію повинні третій, п'ятий, шостий і дев'ятий символ, то для розглянутого коду a3=1, a5=0, a6=0, a7=1, a9=1. З умови забезпечення парності сум отримаємо наступні значення перевірочних символів: a1 =1, a2=0, a4=1, a8=1. Отже, простому п'ятизначна коду 11011 відповідає дев'ятизначний код Хеммінга 101100111.
Нехай тепер при передачі відбулося спотворення п'ятого символу, тобто код прийняв вид 101110111. Тоді в результаті першої перевірки отримаємо 1, другий - 0, третій - 1 і четвертий - 0. Таким чином, в результаті перевірок отримаємо синдром 0101 , який вказує на спотворення п'ятого символу. Виправлення помилки здійснюється за допомогою інвертування п'ятого символу.
Код Хеммінга з кодовим відстанню dmin=4 виходить шляхом додавання до коду Хеммінга з dmin=3 перевірочного символу, що представляє собою результат підсумовування за модулем два всіх символів кодової комбінації. Операція декодування складається з двох етапів. На першому визначається синдром, відповідний коду з dmin=3, на другому - перевіряється останнім перевірочне співвідношення.
Для розглянутого раніше коду з dmin=4 перевірочна матриця може мати вигляд
=0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Додаткове перевірочне співвідношення, що вводиться для збільшення мінімальної відстані коду Хеммінга до dmin=4, має вигляд:
=a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 a8 + a9 + a10
Надмірність коду Хеммінга залежить від кількості інформаційних символів при вимірі k від 4 до 1013 змінюється від 0,429 до 0,098 при dmin=3 і від 0,5 до 0,0107 при dmin=4.
2.4 Каскадні коди
2.4.1 Принципи побудови каскадних кодів
Каскадні коди будуються за принципом поетапного застосування двох або більше процедур кодування до послідовності переданих інформаційних символів. При цьому символами коду наступного етапу (ступені) кодування є слова коду попереднього ступеня. Процедура кодування двійковим каскадним кодом зводиться до наступного.
Послідовність двійкових символів переданого повідомлення розбивається на K k-елементних блоків. Кожен k-елементний блок розглядається як символ нового (q-ічного) алфавіту і підлягає кодуванню (N, K) q-ічним кодом. У результаті реалізації процедури кодування (N, K)-кодом до k-елементним блокам додається N - K надлишкових k-елементних блоків або символів q-ічного алфавіту. Передбачається, що ці надлишкові символи мають представлення у вигляді k-елементних довічних послідовностей. (N, K)-код отримав назву коду другого ступеня або зовнішнього коду. Кожен з N k-елементних символів зовнішньог...
