Як видно, розрахунок за експоненційної функції дає нам великі результати. Це відображає велику швидкість зміни у разі зростання по експоненті. Проте для коротких періодів (не більше 15 років) застосування обох функцій дає подібні результати. Однак у випадку, якщо має місце зменшення чисельності населення, як зараз відбувається в більшості регіонів Росії, то більш кращим є використання експоненційної функції, тому що це гарантує, що кількість населення стане негативною. Екстраполяціонний метод можна застосовувати лише за відсутності різких коливань народжуваності, смертності та міграції [11, c 130]. ​​
Аналітичний метод заснований на тому, що виходячи з минулого демографічної динаміки підбирається функція, найближче її описує. У принципі це може бути будь-яка функція. Однак у кожному разі ця функція носить емпіричний характер, і не існує ніякого загального математичного закону демографічної динаміки.
Математичні вирази, які використовуються для опису зростання населення, є по необхідності емпіричними; не може бути знайдено ніякого закону зростання населення, хоча деякі математичні рівняння визначалися саме як такої закон. При побудові рівняння або кривої, відповідних даними переписів населення, в одному випадку виходять із припущення, що чисельність населення є поліноміальної статечної функцією від часу:
Pt = a + bt + ct2 + dt3 + ........ n, (4)
де а, b, с, d, - константи, оцінюються за допомогою підходящої
техніки, наприклад, за допомогою методу найменших квадратів.
Якщо оцінюються тільки константи а і b, то отримуємо просто лінійну функцію; додавання інших констант означає перехід до квадратичної параболи або до парабола більш високих порядків.
Конкретний вид функції підбирається виходячи з виду емпіричної кривої, а також гіпотези про зв'язок чисельності населення з часом як незалежної змінної. Один клас такого роду гіпотез наведено у вставці. Якщо ж припустити, що зміна чисельності населення за нескінченно малий проміжок часу є функцією чисельності населення, то отримують інші математичні вирази.
Одним з них є експоненціальна функція з ненульовим постійним членом, або зростання (спад) населення в геометричній прогресії.
Іншим прикладом такого роду функцій є широко застосовувана в перспективному обчисленні чисельності населення логістична функція (крива Ферхюлста-Пйрла-Ріда), особливість якої полягає в тому, що її прирощення зменшується у міру зростання чисельності населення.
Логістична функція виражається наступною формулою (5):
P t = (5)
де P t - чисельність населення в момент часу;
t і b-постійна інтеграція,
1/а - якась гранична чисельність, до якої асимптотично
наближається чисельність населення із зростанням t і u;
t, u - параметр визначає конкретний вигляд кривої;
Логістична крива симетрична відносно точки перегину, яка дорівнює 1/2а. При малих значеннях Р темпи його приросту практично постійні і дорівнюють приблизно u. З іншого боку, якщо значення Р великі і близькі. На, темпи його приросту прагнуть до 0.
Ідея логістичної функції була вперше висловлена ​​А. Кетле в 1835 р. і пізніше (в 1838 р.) аналітично виведена бельгійським математиком П'єром Франсуа Ферхюлстом (Verhulst) (1804-1849). Ферхюлст намагався знайти криву, яка описує ситуацію автонасищенія, яка передбачає існування деякої граничної для даних конкретних умов чисельності населення. У міру наближення до цієї граничної чисельності зростання населення сповільнюється внаслідок дії якихось сил опору, що заважають цьому зростанню. Пошук такого роду функції був необхідний А. Кетле для спростування так званого закону народонаселення Т.Р. Мальтуса. Цей закон, виходить з того, що не обмежують нічим зростання населення відбувається в геометричній прогресії (за експоненційної функції). За словами. Кетле, насправді експоненціальне зростання не має місця через того, що опір або сума перешкод його збільшення, за інших рівних умовах, діє як квадрат швидкості, з якою населення має тенденцію зростання. Розвиваючи цю ідею, Ферхюлст і вивів зазначену вище функцію. p> Потім логістична крива була надовго забута і знову виведена американськими біологами Р. Пірло (1879-1940) і Л. Рідомв. Вони застосували логістичну криву для прогнозування чисельності населення США вигляд:
P t = (6)
Як та розглянуті вище лінійна і Експоненціальна функції логістична функція не може відображати динаміку реальних населень у скільки-небудь тривалій перспективі. Вона може використовуватися, головним чином, для прогнозування чисельності невеликих територій на короткі періоди часу. Умовою якісності прогнозу і в даному випадку є контроль за допомогою даних про чисельність населення всієї країни. Перспективні розрахунки за допомогою логістичної функції вимагають знання чисельності населення на тр...
