Сибірський державний університет шляхів сполучення
Кафедра «Графіка»
Розгорнення геометричних тіл
Виконав: Давиденко Д.В.
Група: Д - 114
Керівник: Жидкова Е.В.
Новосибірськ 2014
Введення
Розгорткою поверхні геометричного тіла називається плоска фігура, яка виходить в результаті суміщення всіх граней або всіх поверхонь, що обмежують тіло, з однією площиною. [1, електронний ресурс]
Поверхні деяких геометричних тіл криволінійної форми, наприклад кулі та інших поверхонь обертання, не можна розгорнути в одну площину. Для розгортки таких поверхонь використовують способи наближеною розгортки.
Побудова розгорток поверхонь являє собою важливу технічну задачу і має велике практичне значення при конструюванні різних виробів з листового матеріалу, так як в промисловості застосовується багато конструкцій у вигляді посудин і трубопроводів, виконаних з листового матеріалу способом згинання. Одним з важливих етапів у проектуванні таких конструкцій є побудова розгорток.
При цьому необхідно відзначити, що часто доводиться виготовляти з листового матеріалу не тільки розгортаються, а й неразвёртивающіеся поверхні (Поверхні, які не можуть бути накладені на площину без складок і розривів).
Ознака швидкого розгортання поверхні можна визначити наступним чином: поверхня буде розгортається, якщо дотична площину у всіх точках однієї і тієї ж її прямолінійною твірною постійна
Малюнок 1 - Поверхні: а - розгортається; б - неразвертивающаяся
До розгортається поверхням відносяться всі багатогранні поверхні. Розгорткою багатогранної поверхні є плоска фігура, отримана послідовним суміщенням з однією і тією ж площиною всіх її граней.
Тому побудова розгортки багатогранної поверхні зводиться до визначення натуральної величини окремих її граней.
Це дозволяє розглянути фігуру в натуральну величину з усіх ракурсів одночасно і зробити необхідні дії над нею з граничною точністю і зручністю для інженера. Саме тому розгортки так широко застосовуються на виробництві.
Розгорнення геометричних тіл
Якщо розглядати поверхню і її розгортку як точкові множини, то між цими двома множинами встановлюється взаємно однозначна відповідність. Значить, кожній точці на поверхні відповідає єдина точка розгортки, кожній лінії відповідає лінія на розгортці і навпаки. [2, електронний ресурс]
Отримання розгортки поверхні: а - поверхня; б - розгортка поверхні
Зазначене взаємно однозначна відповідність володіє рядом досить важливих властивостей, які полягають в наступному:
довжини двох відповідних ліній розгортки і поверхні рівні між собою;
кути, утворені лініями на розгортці, і кути між відповідними лініями на поверхні рівні;
замкнута лінія на поверхні і відповідна їй лінія на розгортці обмежують однакову площу.
Також необхідно відзначити ще дві важливі властивості:
пряма лінія на поверхні переходить у пряму на розгортці;
паралельні прямі переходять теж в паралельні прямі.
Розгортка паралелепіпеда
Паралелепіпед і його розгортка показані на малюнку. Знаючи розміри: a, b, c, можна побудувати розгортку. (Малюнок 2)
Можливі інші місця приєднання сторін паралелепіпеда на розгортці для економного розкрою.
Малюнок 2
Розгортка поверхні правильної піраміди
Розгортка поверхні правильної піраміди являє собою плоску фігуру, складену з бічних граней - рівнобедрених або рівносторонніх трикутників і правильного багатокутника підстави. Для прикладу взята правильна чотирикутна піраміда. [3, електронний ресурс]
Креслення розгортки правильної піраміди виконується наступним чином (малюнок. 3):
. З довільної точки S0, як з центру, проводять дугу окружності радіуса L, рівного довжині бічного ребра піраміди, так як в даному прикладі ребра піраміди є лініями рівня.
. З цієї дузі відкладають чотири відрізки, рівних стороні підстави піраміди, яке на ортогональному кресленні спроецировано в натураль...
