Наукова робота на тему:
Визначення та обчислення Довжина дуги плоскої крівої в декартових та полярних координатах. Площа поверхні
В
П лан
Довжина дуги крівої в декартових и полярних координатах
Площа поверхні
Площа поверхні Обертаном
Площа ціліндрічної поверхні
В
Довжина дуги
Це питання для крівої, заданої рівнянням, Вже розглядалося в Раніш. Там булу Знайду формула
В
(10.9)
Если крива задана параметрично, тоб у вігляді
то
(10.10)
Для просторової крівої, что задана параметрично
,
довжина дуги обчіслюється за формулою
В
(10.11)
аналогічно Формулі (10.10). Виведення цієї формули базується на розгляді елемента дуги, кінці Якої збігаються з кінцямі діагоналі паралелепіпеда, а самє, діагональ є Хорда елемента дуги. p> У випадка задання крівої в полярній Системі координат
,
Матімемо
(10.12)
Пропонується вивести Цю формулу, узявші до уваги, что рівняння крівої в полярних координатах можна записатися як параметрічні з параметром q:
В
и Використана формулу (10.10).
Приклад 1. Обчісліті Довжину крівої, заданої рівнянням
розв'язок. Досить обчісліті Довжину дуги, что обмежує зверху заштріховану на ріс.10.7 фігуру, а потім помножіті ее на 8. Користуючися формулою (10.12), одержимо
В
Площа поверхні
Площа поверхні Обертаном
Довжина дуги, что обмежує смужка зверху (ріс.10.9),
В
Ця дуга в разі Обертаном утворен поверхнею Обертаном, Тоді площа поверхні цього конуса Нескінченно малої висоті
Нескінченно малою ВИЩОГО порядку нехтуємо и в результаті одержимо
В
Звідки
(10.7)
Площа ціліндрічної поверхні
На рис. 10.10 зображено ціліндрічну поверхнею з твірнімі, паралельних осі. Нехай ця Поверхня задана рівняннямі
В В
Ріс.10.9 Ріс.10.10
Віділівші смужка так, як показано на рис. 10.10, Знайдемо ее площу
В
(10.8)
Зауваження 1. При одержанні формул (10.1) - (10.2), (10.4) - (10.8) віділені елєменти фігур вважаєтся прямокутник (дів. рис. 10.1, 10.4,10.5), сектором з центральним кутом (рис. 10.2), тонким ціліндрічнім кулею (рис. 10.3), что НЕ вплінуло на залишкову результат, бо Такі заміні реальних фігур здійснюються нехтуванням Нескінченно малих величин Вищих порядків. Цею факт можна Було б строго довести. p> Приклад. Еліпс Із великою піввіссю и малою піввіссю Робить один оберт вокруг Великої осі и раптом - вокруг малої осі. Візначіті поверхнею Обертаном еліпса в шкірному з двох віпадків.
розв'язок. Досить Розглянуто позбав половину еліпса:
В
У результаті Обертаном вокруг Великої осі одержимо за (11.7)
В В
де - ексцентрісітет еліпса.
За помощью підстановкі матімемо
В
У випадка Обертаном вокруг малої осі для обчислення поверхні Обертаном одержуємо інтеграл
В В
У обох випадка Поверхня еліпсоїда вирази через Елементарні Функції.
