Зміст
1) Поверхневий інтеграл другого роду
2) Обчислення інтеграла по поверхні
3) Теорема Остроградського-Гаусса
4) Дивергенція
Література
інтеграл теорема доказ
Інтеграл по поверхні
Поверхня будемо розглядати
1. як образ замкнутої області при безперервному відображенні
2. Відображення можна задати у векторному вигляді в кожній точці гладкої поверхні
3. Для існує нормаль, перпендикулярний до дотичних кривим в точці. Отже дорівнює векторному добутку дотичних до векторів:
В
,
В
поверхню p> -
напрям дотичних прямих к і в т. до поверхні
В В
.
Напрямні косинуси нормалі до поверхні
В
Завдання векторного поля характеризує завдання вектор функції:
В
Приклади векторних полів:
- поле швидкостей поточної рідини або газу.
- гравітаційне поле
- електростатистичного полі.
Якщо в какой то області, заповненої рідиною (або газом), поточної з деякою швидкістю, до кожній точці можна поставити у відповідність векторне поле, то отримаємо векторне поле швидкостей поточної рідини.
Поверхневий інтеграл другого роду.
Визначення інтеграла по поверхні.
Обчислення.
Дано: - Область обмежена поверхнею
В
Дано: - поверхню
В
-векторне поле швидкостей поточної рідини чи газу через поверхню в напрямку нормалі.
Функції - Безперервні в області з кордоном. p> Т/н : Потік рідини (або газу) через поверхню в напрямку. p> Рішення.
1. Поверхня розіб'ємо на довільних частин.
В
2. Виберемо по точці
В
3. Обчислимо швидкість течії рідини в точці
4. Визначимо , Де-скалярний твір
-одинична нормаль до поверхні в точці
- вектор в точці.
5. Складемо p> 6. Знайдемо p> Механічний сенс інтеграла по поверхні
В В
В
-
обсяг циліндра з основою і заввишки.
Якщо -Швидкість течії рідини, то одно кількістю рідини чи газу протікає через поверхню за одиницю часу в напрямку нормалі.
- загальна кількість рідини або газу протікає через поверхню в позитивному напрямку нормалі дорівнює потоку векторного поля через поверхню в напрямку нормалі.
Обчислення інтеграла по поверхні
Нехай нормаль:
В В
В
Зауважимо, що
В В
Дійсно, як кути із взаємно перпендикулярними сторонами. Отже,-кут між дотичною площиною до і його проекцією на площину
Отже <В
Обчислення інтеграла по поверхні.
1. <В В
Аналогічно
В В
Приклад 1. p> Знайти потік вектора через частину поверхні параболоїда
в напрямку внутрішньої нормалі.
В
В
-проектується на з двох сторін і утворює з віссю Ох кути (гострий і тупий)
В
Аналогічно br/>В
В
Приклад 2. Обчислити, де-сфера, нормаль зовнішня. br/>В
Приклад 3. Знайти потік вектора через частину сфери в напрямку зовнішньої нормалі
В
В
Приклад 4. br/>В
Приклад 5. br/>В В
Теорема Остроградського-Гаусса. p> Дивергенція.
В
-потік вектора через поверхню в напрямку за одиницю часу є різниця між кількістю рідини витікає з області та кількістю рідини що вливається в область.
1. . Отже з області рідини випливає стільки ж скільки втікає.
2. рідини чи газу випливає більше, всередині існує джерело .
3. рідини чи газу втікає більше ніж випливає, всередині існує стік.
Щоб оцінити потужність джерел і стоків всередині нам необхідна теорема Остроградського-Гаусса.
В
Якщо -Неперервна разом з приватними похідними в області то:
В
Потік зсередини дорівнює сумарній потужності джерел та стоків в області
за одиницю часу.
Величина потоку вектора через замкнену поверхню:
є глобальною характеристикою векторного поля в області та дуже приблизно дозволяє судити про наявність джерел і стоків в області.
В· Потік являє собою надлишок рідини протікає в бік позитивної нормалі , А не абсолютна кількість рідини пройшла через незалежно від напрямку течії. У зв'язку з цим зручно ввести локальну характеристику розподілу стоків і джерел. Такий характеристикою є дивергенція (Щільність потоку в точці)
Дивергенція:
Визначення: - стягується в точку.
Визначення: Дивергенцією векторного поля в точці називається границя відносини потоку векторного поля через поверхню до обсягу, обмеженому цією поверхнею, за умови що поверхню стягується в точці.
Дивергенція характеризує віднесену до одиниці об'єму потужність потоку векторного поля витікаючого з точки, тобто потужність джерела і стоку що знаходиться в точці.
- середня об'ємна потужність потоку .
-існує джерело в точці.
- існує стік у точці
Теорема 2. br/>
Доказ: br/>В
ч.т.д.
Приклад 1. . Знайти потік вектора через всю поверхню тіла, в напрямку зовнішньої нормалі. p> Рішення: br/>
1.
2. p> Література
1. Єфімов О.В. Математичний аналіз (Спеціальні розділи). - М. Вища школа, 1980
2. Ільїн В.А., Садовничий В.А., Сенд Б.Х. Математичний аналіз, I, II ч. М. Видавництво МДУ, 1987
3. Шилов Г.Е. Математичний аналіз функції декількох речових змінних. ч. 1 - 2, М., Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1972. p> 4. Збірник завдань з математики для втузів. Спеціальні розділи математичного аналізу I, II ч. М. Наука 1981. p> Розміщено на
