Теми рефератів
> Реферати > Курсові роботи > Звіти з практики > Курсові проекти > Питання та відповіді > Ессе > Доклади > Учбові матеріали > Контрольні роботи > Методички > Лекції > Твори > Підручники > Статті Контакти
Реферати, твори, дипломи, практика » Новые рефераты » Обчислення інтеграла по поверхні

Реферат Обчислення інтеграла по поверхні





Зміст


1) Поверхневий інтеграл другого роду

2) Обчислення інтеграла по поверхні

3) Теорема Остроградського-Гаусса

4) Дивергенція

Література

інтеграл теорема доказ

Інтеграл по поверхні


Поверхня будемо розглядати

1. як образ замкнутої області при безперервному відображенні

2. Відображення можна задати у векторному вигляді в кожній точці гладкої поверхні

3. Для існує нормаль, перпендикулярний до дотичних кривим в точці. Отже дорівнює векторному добутку дотичних до векторів:


В 

,

В 

поверхню p> -


напрям дотичних прямих к і в т. до поверхні


В В 

.


Напрямні косинуси нормалі до поверхні


В 

Завдання векторного поля характеризує завдання вектор функції:


В 

Приклади векторних полів:

- поле швидкостей поточної рідини або газу.

- гравітаційне поле

- електростатистичного полі.

Якщо в какой то області, заповненої рідиною (або газом), поточної з деякою швидкістю, до кожній точці можна поставити у відповідність векторне поле, то отримаємо векторне поле швидкостей поточної рідини.

Поверхневий інтеграл другого роду.

Визначення інтеграла по поверхні.

Обчислення.

Дано: - Область обмежена поверхнею


В 

Дано: - поверхню


В 

-векторне поле швидкостей поточної рідини чи газу через поверхню в напрямку нормалі.

Функції - Безперервні в області з кордоном. p> Т/н : Потік рідини (або газу) через поверхню в напрямку. p> Рішення.

1. Поверхня розіб'ємо на довільних частин.

В 

2. Виберемо по точці

В 

3. Обчислимо швидкість течії рідини в точці

4. Визначимо , Де-скалярний твір

-одинична нормаль до поверхні в точці

- вектор в точці.

5. Складемо p> 6. Знайдемо p> Механічний сенс інтеграла по поверхні


В В 
В 

-


обсяг циліндра з основою і заввишки.

Якщо -Швидкість течії рідини, то одно кількістю рідини чи газу протікає через поверхню за одиницю часу в напрямку нормалі.

- загальна кількість рідини або газу протікає через поверхню в позитивному напрямку нормалі дорівнює потоку векторного поля через поверхню в напрямку нормалі.

Обчислення інтеграла по поверхні

Нехай нормаль:


В В 
В 

Зауважимо, що

В В 

Дійсно, як кути із взаємно перпендикулярними сторонами. Отже,-кут між дотичною площиною до і його проекцією на площину


Отже <В 

Обчислення інтеграла по поверхні.


1. <В В 

Аналогічно


В В 

Приклад 1. p> Знайти потік вектора через частину поверхні параболоїда

в напрямку внутрішньої нормалі.


В 
В 

-проектується на з двох сторін і утворює з віссю Ох кути (гострий і тупий)

В 

Аналогічно br/>В 
В 

Приклад 2. Обчислити, де-сфера, нормаль зовнішня. br/>В 

Приклад 3. Знайти потік вектора через частину сфери в напрямку зовнішньої нормалі


В 
В 

Приклад 4. br/>В 

Приклад 5. br/>В В 

Теорема Остроградського-Гаусса. p> Дивергенція.


В 

-потік вектора через поверхню в напрямку за одиницю часу є різниця між кількістю рідини витікає з області та кількістю рідини що вливається в область.

1. . Отже з області рідини випливає стільки ж скільки втікає.

2. рідини чи газу випливає більше, всередині існує джерело .

3. рідини чи газу втікає більше ніж випливає, всередині існує стік.

Щоб оцінити потужність джерел і стоків всередині нам необхідна теорема Остроградського-Гаусса.


В 

Якщо -Неперервна разом з приватними похідними в області то:


В 

Потік зсередини дорівнює сумарній потужності джерел та стоків в області

за одиницю часу.

Величина потоку вектора через замкнену поверхню:

є глобальною характеристикою векторного поля в області та дуже приблизно дозволяє судити про наявність джерел і стоків в області.

В· Потік являє собою надлишок рідини протікає в бік позитивної нормалі , А не абсолютна кількість рідини пройшла через незалежно від напрямку течії. У зв'язку з цим зручно ввести локальну характеристику розподілу стоків і джерел. Такий характеристикою є дивергенція (Щільність потоку в точці)

Дивергенція:

Визначення: - стягується в точку.

Визначення: Дивергенцією векторного поля в точці називається границя відносини потоку векторного поля через поверхню до обсягу, обмеженому цією поверхнею, за умови що поверхню стягується в точці.

Дивергенція характеризує віднесену до одиниці об'єму потужність потоку векторного поля витікаючого з точки, тобто потужність джерела і стоку що знаходиться в точці.

- середня об'ємна потужність потоку .

-існує джерело в точці.

- існує стік у точці


Теорема 2. br/>

Доказ: br/>В 

ч.т.д.


Приклад 1. . Знайти потік вектора через всю поверхню тіла, в напрямку зовнішньої нормалі. p> Рішення: br/>

1.

2. p> Література


1. Єфімов О.В. Математичний аналіз (Спеціальні розділи). - М. Вища школа, 1980

2. Ільїн В.А., Садовничий В.А., Сенд Б.Х. Математичний аналіз, I, II ч. М. Видавництво МДУ, 1987

3. Шилов Г.Е. Математичний аналіз функції декількох речових змінних. ч. 1 - 2, М., Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1972. p> 4. Збірник завдань з математики для втузів. Спеціальні розділи математичного аналізу I, II ч. М. Наука 1981. p> Розміщено на







Схожі реферати:

  • Реферат на тему: Визначення втрати напору при закінченні рідини через отвори і насадки
  • Реферат на тему: Аналіз функції фільтраційного опору для несталого припливу рідини (газу) до ...
  • Реферат на тему: Механіка рідини і газу
  • Реферат на тему: Властивості Рідини и газу
  • Реферат на тему: Механіка рідини і газу