Курсова робота
з дисципліни: Підземна гидромеханика
Тема: Порівняльна оцінка наближених методів вирішення завдань теорії пружного режиму фільтрації газу
1. Точне рішення осесимметричного припливу газу до свердловини
Основи теорії руху газу в пористому середовищі були розроблені засновником радянської школи нафтогазової гідромеханіки академіком Л.С. Лейбензон. Він вперше отримав диференціальні рівняння несталої фільтрації досконалого газу в пласті за законом Дарсі.
При виводі рівняння передбачалося, що коефіцієнти пористості і проникності не змінюються з тиском, тобто пласт недеформіруем, в'язкість газу також не залежить від тиску, газ досконалий, а фільтрація газу в пласті відбувається при незмінних в часі температурах газу і пласта (ізотермічний закон).
Для виведення диференціального рівняння несталої фільтрації досконалого газу скористаємося рівнянням, яке справедливо для будь-якого стисливого флюїду:
, (1)
де коефіцієнти проникності і в'язкості постійні.
Функція Лейбензона для досконалого газу визначається за формулою:
Р =? атp2? (2pат) + С. (2)
Продифференцируем (2) за координатами 2 рази:
,, (3)
Перетворюючи праву частину рівняння (1) і вважаючи пористість m0 постійної і враховуючи, що для досконалого газу
? =? Ат p? pат, (4)
отримаємо:
(5)
Підставивши вирази (3) і (5) в рівняння (1), отримаємо:
(6)
Де вираження в скобці являє собою оператор Лапласа щодо р2, тому рівняння (6) приймає вигляд:
(7)
Отримане диференціальне рівняння несталої фільтрації досконалого газу називається рівнянням Лейбензона і являє собою нелінійне рівняння параболічного типу. Воно справедливо для досконалого газу при виконанні закону Дарсі. Так як коефіцієнт пористості входить в рівняння (1) у вигляді твору? M, в якому щільність газу змінюється більшою мірою, ніж пористість, його зміною нехтують.
Рівняння Лейбензона (6) можна записати наступним чином, помноживши праву і ліву частини на тиск р і замінивши
(8)
У такій записи під знаками похідних за координатами і за часом знаходиться одна і та ж функція р2, але коефіцієнт в правій частині kр/(? m0) -змінного, до нього входить шукана функція p (x, y, z, t ).
Несталим фільтрація реального газу з рівнянням стану? =? Ат p? [pатz (p)] і з урахуванням залежності коефіцієнта в'язкості від тиску? =? (p) і недеформіруемое пористого середовища (m0=const, k=const) описується наступним нелінійним диференціальним рівнянням параболічного типу:
(9)
Для вирішення завдань, пов'язаних з несталою фільтрацією газу, диференціальне рівняння у формі (6) або (8) повинно бути проінтегрувати по всій області газового покладу при заданих початкових і граничних умовах.
Так як рівняння (6) або (8) являє собою складне нелінійне рівняння в приватних похідних, воно в більшості випадків не має точних аналітичних рішень. Його можна проінтегрувати чисельно за допомогою ЕОМ або вирішити наближеним способом. Наближені способи добре розроблені.
Чисельні методи вирішення різних завдань фільтрації газу на основі рівняння Л.С. Лейбензона досить добре обгрунтовані в додатках до проблем розробки родовищ природних газів. Найбільшого поширення набули методи скінченних різниць та скінченних елементів. Разом з тим, розвиток теорії фільтрації газів, викликане вимогами практики розробки газових родовищ, пов'язаних зі зміною гірничо-геологічних умов їх залягання (великі глибини, високі тиску і температури, многокомпонентность газу і т.д.) зажадало обліку в основному рівнянні, запропонованому Л.С. Лейбензон, багатьох додаткових факторів. Виявилося, що використання функції Лейбензона у формі (2) допустимо при невеликих тисках, в умовах недеформівних пластів. При досить великих тисках в умовах деформівних колекторів під знак інтеграла у формулі (2) необхідно внести залежності зміни проникності, в'язкості і коефіцієнта сверхсжімаемості газу від тиску. При неізотермічній фільтрації в багатьох випадках необхідно враховувати також зміна властивостей газу oт температури.
Рівняння (6) отримано з використанням як рівняння руху закону Дарсі. Разом з тим, подальші дослідження І.А. Чарного, Е.М. Мінського та інших показали, що при фільтрації газів в природних пластах в більшості випадків слід користуватися нелінійним (двочленним) законом фільтрації.
Одним з ефективних шляхів вирішення рівняння Лейбензона є лінеаризація, тобто звед...
