ення його до лінійного рівняння Фур'є. У деяких практичних випадках використання різних способів лінеаризації рівняння (6) дозволяє отримувати наближені рішення, що задовольняють вимогам практики.
Будемо вважати пласт нешаткою, фільтрацію ізотермічної і відбувається по двучленного закону. Розглянемо плоскорадіальний потік до Осесиметрична розташованої свердловині.
Скористаємося рівнянням нерозривності для плоскорадіального руху:
(10)
Скориставшись виразом для масової швидкості? w, отриманим з двучленного закону фільтрації, після підстановки в них значень щільності з рівняння стану (4), отримаємо:
; (11)
. (12)
Підставивши вирази (11), (12) і (5) в рівняння нерозривності (10) і скоротивши на? ат/pат, отримаємо:
, (13)
де.
Якщо зробити заміну, то диференціальне рівняння несталої фільтрації газу по двучленного законом прийме наступний вигляд:
. (14)
Аналітичне рішення рівняння (14) наштовхується на значні труднощі, однак чисельне рішення для звичайних в підземній гідромеханіці початкових і граничних умов не представляє утруднень.
1.1 Лінеаризація рівняння Лейбензона і основне рішення лінеаризованого рівняння
Якщо замінити нелінійне диференціальне рівняння (8) лінійним, т. е. линеаризовать його, то воно спроститься - для лінійного рівняння існують точні аналітичні рішення. Ясно, що ці точні рішення лінеаризованого рівняння будуть наближеними для нелінійного. Оцінити похибка рішення, яка виникає при заміні точного рівняння лінеаризоване, можна, наприклад, порівнюючи наближене рішення з рішенням на ЕОМ точного рівняння.
Були запропоновані різні способи лінеаризації рівняння (8). Якщо розглядається плоскорадіальний приплив до свердловини, то, як відомо з теорії усталеною фільтрації газу воронка депресії дуже крута, і в більшій частині пласта тиск мало відрізняється від контурного. На цій підставі Леібензон запропонував замінити змінний тиск p в коефіцієнті рівняння (8) на постійний тиск pк, рівне початкового тиску в пласті. Тоді, позначивши отримаємо замість рівняння (8) рівняння
(15)
яке є лінійним рівнянням пьезопроводності щодо функції р2, де? -константа, аналогічна коефіцієнту пьезопроводності. Такий спосіб лінеаризації, коли змінний коефіцієнт? в рівнянні при різних значеннях тиску приймається константою, називається лінеаризацією по Лей6ензону. Надалі різними авторами були запропоновані уточнення до лінеаризації по Лейбензон. Так. І. А. Чарний запропонував звести рівняння (8) до лінійного заміною змінного тиску в коефіцієнті на значення
ср=pmin + 0,7 (pmax-pmin),
де pmах і pmin - максимальне і мінімальне тиску в газовій поклади на розрахунковий період.
Використовуємо лінеаризоване рівняння (15) для вирішення конкретного завдання про приплив газу в свердловину нескінченно малого радіусу (точковий стік), розташовану в нескінченно протяжному пласті з постійною товщиною h. У початковий момент часу пласт невозмущен, тобто тиск у всьому пласті постійно і дорівнює pk. З цього моменту починається відбір газу з постійним дебітом Qат. Потрібно знайти зміна тиску по пласту з плином часу p (r, t).
Для плоскорадіальной фільтрації газу (15) запишеться наступним чином:
(16)
Проинтегрировав рівняння (16) при початковій умові=pk2 при t=0, 0 lt; r lt; ? (17)
і при граничному умови у віддалених точках
р2=рk2 при r =?, t gt; 0. (18)
Виведемо умова для тиску на вибої свердловини. Записавши вираз для масового дебіту виходячи із закону Дарсі в диференціальної формі для плоскорадіальной фільтрації:
І використавши рівності
а так само скоротивши на рат, отримаємо:
З цього співвідношення можна виразити умова на стінці газової свердловини нескінченно малого радіусу:
при r=0. (19)
Таким чином, для вирішення поставленого завдання рівняння (16) має бути проінтегрувати за умов (17), (18), і (19).
Отримані вирази для досконалого газу аналогічні співвідношенням для пружної рідини, тільки тиск входить у квадраті:
=pk2 при t=0, 0 lt; r lt; ?
р2=рk2 при r =?, t gt; 0
при r=0
Рішення ліеарізованного рівняння Лейбензона для газу отримаємо по основній формулі пружного режиму для пружної рідини з урахуванням для газу і коефіцієнта, аналогічних коефіцієнту пьезопроводності і коефіцієнту для рідини:
(20)
Для малих значень аргументу відповідно можна замінити інтегральну показову функцію логарифмічною
(21)
Рішення (20) - (21) є наближеними, оскільки отримані в результаті ...
