Методи розв'язання крайових задач, у тому числі В«жорсткихВ» крайових завдань
Методи Олексія Юрійовича Виноградова
1 Введення
На прикладі системи диференціальних рівнянь циліндричної оболонки ракети - системи звичайних диференціальних рівнянь 8-го порядку (після поділу приватних похідних).
Система лінійних звичайних диференціальних рівнянь має вигляд:
Y (x) = A (x) в€™ Y (x) + F (x),
де Y (x) - шукана вектор-функція задачі розмірності 8х1, Y (x) - похідна шуканої вектор-функції розмірності 8х1, A (x) - квадратна матриця коефіцієнтів диференціального рівняння розмірності 8х8, F (x) - вектор-функція зовнішнього впливу на систему розмірності 8х1.
Тут і далі вектора позначаємо жирним шрифтом замість рисочок над буквами
Крайові умови мають вигляд:
U в€™ Y (0) = u,
V в€™ Y (1) = v,
де p> Y (0) - значення шуканої вектор-функції на лівому краї х = 0 розмірності 8х1, U - прямокутна горизонтальна матриця коефіцієнтів крайових умов лівого краю розмірності 4х8, u - вектор зовнішніх впливів на лівий край розмірності 4х1,
Y (1) - значення шуканої вектор-функції на правому краї х = 1 розмірності 8х1, V - прямокутна горизонтальна матриця коефіцієнтів крайових умов правого краю розмірності 4х8, v - вектор зовнішніх впливів на правий край розмірності 4х1.
У випадку, коли система диференціальних рівнянь має матрицю з постійними коефіцієнтами A = const, рішення задачі Коші має вигляд [Гантмахер]:
Y (x) = e в€™ Y (x) + e в€™ e в€™ F (t) dt,
де
e = E + A (x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + ..., p> де E це одинична матриця. p> Матрична експонента ще може називатися матрицею Коші або матріціантом і може позначатися у вигляді:
K (x в†ђ x) = K (x - x) = e.
Тоді рішення задачі Коші може бути записано у вигляді:
Y (x) = K (x в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (x в†ђ x),
де Y * (x в†ђ x) = e в€™ e в€™ F (t) dt це вектор приватного рішення неоднорідної системи диференціальних рівнянь.
В
2 Випадок змінних коефіцієнтів
Цей варіант розгляду змінних коефіцієнтів перевірявся в кандидатській дисертації.
З теорії матриць [Гантмахер] відомо властивість перемножаемості матричних експонент (Матриць Коші):
e = e в€™ e в€™ ... в€™ e в€™ e,
K (x в†ђ x) = K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ ... в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x).
У випадку, коли система диференціальних рівнянь має матрицю з змінними коефіцієнтами A = A (x), рішення задачі Коші пропонується шукати за допомогою властивості перемножаемості матриць Коші. Тобто інтервал інтегрування розбивається на малі ділянки і на малих ділянках матриці Коші наближено обчислюються за формулою для постійної матриці в експоненті. А потім матриці Коші, обчислені на малих ділянках, перемножуються:
K (x в†ђ x) = K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x) в€™ ... в€™ K (x в†ђ x) в€™ K (x в†ђ x),
де матриці Коші наближено обчислюються за формулою:
K (x в†ђ x) = e, де О”x = x-x.
3 Формула для обчислення вектора приватного рішення неоднорідної системи диференціальних рівнянь
Ця дуже проста формула ще обраховано на комп'ютерах. Замість неї обраховували значно раніше виведена і набагато складніша формула, наведена в:
Чисельний метод перенесення крайових умов для жорстких диференціальних рівнянь будівельної механіки Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стор 1409-003r.pdf
Замість формули для обчислення вектора приватного рішення неоднорідної системи диференціальних рівнянь у вигляді [Гантмахер]:
Y * (x в†ђ x) = e в€™ e в€™ F (t) dt
пропонується використовувати наступну формулу для кожної окремої ділянки інтервалу інтегрування і тоді вектор приватного рішення на всьому інтервалі буде складатися з векторів, обчислених за формулою:
Y * (x в†ђ x) = Y * (x-x) = K (x-x) в€™ K (x-t) в€™ F (t) dt.
Правильність наведеної формули підтверджується наступним:
Y * (x-x) = e в€™ e в€™ F (t) dt,
Y * (x-x) = e в€™ e в€™ F (t) dt,
Y * (x-x) = e в€™ F (t) dt,
Y * (x-x) = e в€™ F (t) dt,
Y * (x-x) = e в€™ e в€™ F (t) dt,
Y * (x в†ђ x) = e в€™ e в€™ F (t) dt,
що потрібно було підтвердити.
Обчислення вектора приватного рішення системи диференціальних рівнянь проводитися при допомоги подання матриці Коші під знаком інтеграла у вигляді ряду і інтегрування цього ряду поелементно:
Y * (x в†ђ x) = Y * (x-x) = K (x-x) в€™ K (x-t) в€™ F (t) dt =
= K (x-x) в€™ (E + A (x-t) + A (x-t)/2! + ...) в€™ F (t) dt =
= K (x-x) в€™ (EF (t) dt + A в€™ (x-t) в€™ F (t) dt + A/2! в€™...
