(x-t) в€™ F (t) dt + ...). br/>
Ця формула справедлива для випадку системи диференціальних рівнянь з постійною матрицею коефіцієнтів A = const.
Для випадку змінних коефіцієнтів A = A (x) можна використовувати прийом поділу ділянки (x-x) інтервалу інтегрування на малі подучасткі, де на подучастках коефіцієнти можна вважати постійними A (x) = const і тоді вектор приватного рішення неоднорідної системи диференціальних рівнянь Y * (x в†ђ x) буде на ділянці складатися з відповідних векторів подучастков, на яких матриці Коші наближено обчислюються за допомогою формул з постійними матрицями в експонентів.
4 Метод В«переносу крайових умовВ» в довільну точку інтервалу інтегрування
Метод обраховано на комп'ютерах. По ньому вже зроблено 3 кандидатських фіз-мат дисертації. p> Метод підходить для будь-яких крайових задач. А для В«жорсткихВ» крайових задач показано, що метод вважає швидше, ніж метод С.К.Годунова до 2-х порядків (у 100 разів), а для деяких В«жорсткихВ» крайових задач не вимагає ортонормірованія зовсім. Дивись:
Чисельний метод перенесення крайових умов для жорстких диференціальних рівнянь будівельної механіки
Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стор 1409-003r.pdf
Повне рішення системи диференціальних рівнянь має вигляд
Y (x) = K (x в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (x в†ђ x).
Або можна записати:
Y (0) = K (0 в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (0 в†ђ x). br/>
Підставляємо цей вираз для Y (0) в крайові умови лівого краю і отримуємо:
U в€™ Y (0) = u,
U в€™ [ K (0 в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (0 в†ђ x)] = u,
[U в€™ K (0 в†ђ x)] в€™ Y (x) = u - U в€™ Y * (0 в†ђ x).
Або отримуємо крайові умови, перенесені в точку x:
U в€™ Y (x) = u,
де U = [U в€™ K (0 в†ђ x)] і u = u - U в€™ Y * (0 в†ђ x). p> Далі запишемо аналогічно
Y (x) = K (x в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (x в†ђ x)
І підставимо цей вираз для Y (x) в перенесені крайові умови точки x
U в€™ Y (x) = u,
U в€™ [K (x в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (x в†ђ x)] = u,
[U в€™ K (x в†ђ x)] в€™ Y (x) = u - U в€™ Y * (x в†ђ x),
Або отримуємо крайові умови, перенесені в точку x:
U в€™ Y (x) = u,
де U = [U в€™ K (x в†ђ x)] і u = u - U в€™ Y * (x в†ђ x). br/>
І так в точку x переносимо матричне крайове умова з лівого краю і таким же чином переносимо матричне крайове умова з правого краю і отримуємо:
U в€™ Y (x) = u,
V в€™ Y (x) = v.
З цих двох матричних рівнянь з прямокутними горизонтальними матрицями коефіцієнтів очевидно отримуємо одну систему лінійних алгебраїчних рівнянь з квадратною матрицею коефіцієнтів:
в€™ Y (x) =.
А у випадку В«жорсткихВ» диференціальних рівнянь пропонується застосовувати порядкове ортонормірованіе матричних крайових умов у процесі їх переносу в розглянуту точку. Для цього формули ортонормірованія систем лінійних алгебраїчних рівнянь можна взяти в [Березін, Жидков].
Те Тобто, отримавши
U в€™ Y (x) = u,
застосовуємо до цієї групи лінійних алгебраїчних рівнянь порядкове ортонормірованіе і отримуємо еквівалентну матричне крайове умова:
U в€™ Y (x) = u.
І тепер вже в цей проортонормірованное порядково рівняння підставляємо
Y (x) = K (x в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (x в†ђ x).
І отримуємо
U в€™ [K (x в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (x в†ђ x)] = u,
[U в€™ K (x в†ђ x)] в€™ Y (x) = u - U в€™ Y * (x в†ђ x),
Або отримуємо крайові умови, перенесені в точку x:
U в€™ Y (x) = u,
де U = [U в€™ K (x в†ђ x)] і u = u - U в€™ Y * (x в†ђ x). p> Тепер вже до цієї групи лінійних алгебраїчних рівнянь застосовуємо порядкове ортонормірованіе і отримуємо еквівалентну матричне крайове умова:
U в€™ Y (x) = u.
І так далі. p> І аналогічно чинимо з проміжними матричними крайовими умовами, які переносяться з правого краю у розглянуту точку. br/>
У підсумку отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з квадратною матрицею коефіцієнтів, що складається з двох незалежно один від одного поетапно проортонормірованних матричних крайових умов, яка вирішується будь-яким відомим методом для отримання рішення Y (x) у розглянутій точці x:
в€™ Y (x) =.
5 Другий варіант методу В«перенесення крайових умовВ» в довільну точку інтервалу інтегрування
Цей варіант методу ще обліковано на комп'ютерах.
Запропоновано виконувати інтегрування за формулами теорії матриць [Гантмахер] відразу від деякої внутрішньої точки інтервалу інтегрування до країв:
Y (0) = K (0 в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (0 в†ђ x),
Y (1) = K (1 в†ђ x) в€™ Y (x) + Y * (1 в†ђ x). br/>
Підставами ці формули в крайові умови і отримаємо:
U в€™ Y (...
