МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Федеральне державне бюджетне
освітня установа
ВИЩОЇ ОСВІТИ
Воронезького державного ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
(ФГБОУ ВПО ВГТУ raquo ;, ВГТУ)
Кафедра вищої математики та фізико-математичного моделювання
ЗАВДАННЯ
на курсову роботу
з дисципліни Спецглави математики
Тема: Рішення крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь методом Рітца
Студент групи КП - 121
Животенко Микола Володимирович
Зміст розрахунково-пояснювальної записки
1. Розглянути основні поняття і терміни варіаційного числення.
2. Вирішити крайові задачі для звичайного диференціального рівняння методом Рітца. Побудувати графіки і скласти таблиці збіжності та точності рішення.
Терміни виконання етапів _______________________
Термін захисту курсової роботи _______________________
Керівник ______________________ C.А. Кострюков
Завдання прийняв студент ______________________ Н.В. Животенко
Зауваження керівника:
Зміст
Введення
1. Варіаційне числення
1.1 Поняття функціоналу
1.2 Завдання, що призводять до екстремуму функціоналу
1.3 Перша варіація функціонала
1.4 Необхідна умова мінімуму функціонала
1.5 Рівняння Ейлера. Зв'язок між варіаційної і крайової завданнями
1.6 Шляхи вирішення варіаційних завдань
2. Прямі методи варіаційного числення
2.1 Метод Рітца
2.2 Практичне застосування методу Рітца для вирішення варіаційних завдань
2.2.1 Рішення крайової задачі Діріхле (1-го роду)
2.2.2 Рішення крайової задачі Неймана (2-го роду)
2.2.3 Рішення змішаної крайової задачі (третій роду)
Висновок
Список використаної літератури
Програми
Введення
Варіаційне числення - математична дисципліна, присвячена відшукання екстремальних (найбільших і найменших) значень функціоналів - змінних величин, що залежать від вибору однієї або декількох функцій. Варіаційне числення є природним розвитком тієї глави математичного аналізу, яка присвячена задачі відшукання екстремумів функцій. Виникнення і розвиток варіаційного числення тісно пов'язане із завданнями механіки, фізики та інших технічних наук.
Ще в античні часи з'явилися перші варіаційні проблеми, що відносяться до категорії изопериметрических завдань - наприклад, завдання Дідони. Перший варіаційний принцип сформулював для траєкторій відбитих світлових променів Герон Олександрійський в роботі Катоптрика (I століття н.е.). У середньовічній Європі изопериметрическими завданнями займалися І. Сакробоско (XIII століття) і Т. Брадвардін (XIV століття). Після розробки аналізу з'явилися нові типи варіаційних завдань, в основному механічного характеру. Ньютон в Математичних засадах натуральної філософії (Одна тисяча шістсот вісімдесят сім) вирішує завдання: знайти форму тіла обертання, що забезпечує найменший опір при русі в газі або рідини (при заданих розмірах). Важливою історичним завданням, що дала поштовх до розвитку сучасного варіанта варіаційного числення, стала задача про Брахістохрона (1696). Її швидке рішення відразу декількома математиками показало величезні можливості нових методів. Серед інших завдань варто відзначити визначення форми ланцюгової лінії (тобто форми рівноваги важкої однорідної нитки, 1690). Загальних методів вирішення варіаційних завдань у цей період ще не існувало, кожне завдання вирішувалася за допомогою дотепних (і не завжди бездоганних) геометричних міркувань.
диференціальне рівняння функціонал варіаційний
Вирішальний внесок у розвиток варіаційного числення внесли Леонард Ейлер і Жозеф Лагранж. Ейлера належить перший систематичний виклад варіаційного числення і сам термін (1766 рік). Лагранж незалежно отримав (з 1755 роки) багато основоположні результати і ввів поняття варіації. На цьому етапі були виведені рівняння Ейлера - Лагранжа.
Методи варіаційного числення широко застосовуються в різних областях математики. Наприклад, в диференціальної геометрії з їх допомогою шукають геодезичні лінії і мінімальні поверхні. У фізиці варіацій...
