Курсова робота
Властивості періодів десятковіх дробів
Вступ
Актуальність теми дослідження.
На перший погляд, періодичні дроби - Це дуже просто, но скільки цікавого та загадкова смороду містять в Собі. Вперше ми зустрічаємося з ними ще в школі. У Шкільній Програмі смороду вівчаються в курсі шостого класу, но при розв язанні олімпіадніх завдань з властівостямі періодичних дробів вінікають проблеми, оскількі. нужно знати не только найпростіше, но и деякі особливі Властивості. Много видатних учених намагаліся найти ЦІ Особливостігри та довести їх. Для Видатний математика Йоганна Бернуллі поиск дільніків реп юнітів Було Одне Із захоплень. Альо реп юніті цікавлять нас не Самі, а у зв язку з періодамі десятковіх дробів. Бернулі Побачив зв'язок между ними и одночасно з таблицею дільніків реп юнітів надрукував огляд відоміх на тій годину результатів періодичних десятковіх дробів, Які включали в собі просторова таблицю ціх періодів.
У курсі вищої алгебри розглядаються лишь ОКРЕМІ Відомості, что стосують періодичних дробів, а самє: превращение раціонального дробу в періодічній десятковій. Однако доволі цікаві Властивості періодичних дробів, Які значний спрощують розв язання багатьох олімпіадніх завдань, залішаються поза уваг.
Мета дослідження: ознайомітісь Із Деяк властівостямі періодів десятковіх дробів. Відповідно до мети Було поставлено следующие Завдання:
) Розглянуто! застосування конгруенцій до превращение звічайна дробу в десятковій
) Ознайомітісь Із Деяк цікавімі властівостямі періодів десятковіх дробів
) Підібраті приклада для ілюстрації Теорії
) Довести Велику теорему Ферма для
Про єкт дослідження: періодичні дроби.
Предмет дослідження: Властивості періодичних дробів.
Робота складається Із вступления, трьох розділів, вісновків та списку використаної літератури. Загальний ОБСЯГИ роботи 27 сторінок.
1. Перетворення звічайна дробу в десятковій помощью конгруенцій
ферма Дріб десятковій конгруенція
Означення 1
Періодічнім десятковім дробом назівається нескінченній Дріб
для которого існують Такі натуральні числа , что для всіх натуральних чисел .
Розглянемо приклада:
. Дріб 2,5436436 ...=2,5 (436) - періодічній, де m=2, а L=3
. Дріб 8,33333 ...=8, (3) - періодічній, де m=1, а L=1
Означення 2
Періодічній десятковій Дріб назівається чистимо періодічнім дробом, если его период (група цифр, что повторюється) почінається Одразу после комі, тобто коли m=1 .
Означення 3
Если періодічній десятковій Дріб містіть галі число между цілою Частина І періодом, то такий періодічній Дріб назівається мішанім.
Повернемося до наших примеров. У Першому прікладі Дріб 2,5436436 ...=2,5 (436) - мішаній, того что между цілою Частина І періодом находится цифра 5. А Дріб іншого прикладу чистий, бо период почінається відразу после цілої части.
Нехай - звічайній Дріб, а, b, (а,)=1 та а lt; b. Залежних від того чи входять до канонічного Розкладая b числа 2 та 5, Можливі 3 Різні випадки:
1)
2)
3)
Розглянемо ЦІ випадки.
Теорема1
Дріб превращается у скінченній десятковій Дріб тоді и лишь тоді, коли. При цьом Кількість десятковіх знаків после комі дорівнює більшому Із чисел.
Доведення.
необходимость. Нехай Дріб превращается у скінченній десятковій Дріб: Тоді Можемо Записатись:. После скороченню дробу в канонічному розкладі знаменніка могут буті лишь Прості числа 2 та 5, тобто.
Достатність. Нехай. Если, то - скінченній десятковій Дріб и в ньом? десятковіх знаків после комі.
Если, то - скінченній десятковій Дріб и в ньом десятковіх знаків после комі. Теорему доведено.
Теорема2
Если в канонічному розкладі знаменніка дробом ...
